Cho đường tròn (O) Từ điểm A ở ngoài đường tròn vẽ hai tiếp tuyến AB và AC( B;C là tiếp điểm) OA cắt BC tại Ea) Chứng minh rằng: ABC=AOBb) Chứng minh rằng: AB.BE= AE.BOc) Gọi I là trung điểm BE, đường thẳng qua I vuông góc OI cắt các tia AB và AC thứ tự ở D và F. Chứng minh rằng tam giác DFO cân tại O.d) Chứng minh rằng F là trung điểm...
Đọc tiếp
Cho đường tròn (O) Từ điểm A ở ngoài đường tròn vẽ hai tiếp tuyến AB và AC( B;C là tiếp điểm) OA cắt BC tại E
a) Chứng minh rằng: ABC=AOB
b) Chứng minh rằng: AB.BE= AE.BO
c) Gọi I là trung điểm BE, đường thẳng qua I vuông góc OI cắt các tia AB và AC thứ tự ở D và F. Chứng minh rằng tam giác DFO cân tại O.
d) Chứng minh rằng F là trung điểm AC
xét tứ giác ABOC có
\(\widehat{ABO}=\widehat{ACO}=90^0\)(t/c tiếp tuyến )
mà 2 góc này ở zị trí đối diện
=> tứ giác ABOC nối tiếp
=>ABC=AOB
b)Zì A là giao điểm 2 tiếp tuyến AB zà AC
=>\(\hept{\begin{cases}AB=AC\\OB=OC\end{cases}=>OA}\)là đường trung trực của BC
=>\(OA\perp BC\)
ta có \(\widehat{BAE}+\widehat{ABE}=90^0\)( do tam giác ABE zuông tại E)
\(\widehat{BAE}+\widehat{BOE}=90^0\)( do tam giác ABO zuông tại B)
=> \(\widehat{ABE}=\widehat{BOE}\)
xét tam giác ABE zà tam giác BOE có
\(\hept{\begin{cases}\widehat{AEB}=\widehat{BEO}\left(=90^0\right)\\\widehat{ABE}=\widehat{BOE}\left(cmt\right)\end{cases}=>}\)tam giác ABE \(~\)tam giác BOE (g.g)
=>\(\frac{AB}{BO}=\frac{AE}{BE}=>AB.BE=AE.BO\left(dpcm\right)\)
c)xét tứ giác IBDO có
\(\widehat{DBO}=\widehat{DIO}=90^0\)
mà 2 góc này cùng chắn cung OD=>IBDO là tứ giác nội tiếp
=>\(\widehat{EBO}=\widehat{ODF}\)(cùng chắn cung OI) (1)
ta có OB=OC => tam giác OBC cân tại O
=>\(\widehat{EBO}=\widehat{ECO}\)(2)
từ 1 zà 2 =>\(\widehat{ODF}=\widehat{ECO}\)hay \(\widehat{IDO}=\widehat{BCO}\)(3)
xét tứ giá IOCF có \(\widehat{ÒI}F=\widehat{OCF}=90^0\)
mà 2 góc này ở zị trí đối diện
=> tứ giác IOCF nội tiếp
=>\(\widehat{IFO}=\widehat{ECO}\)(cùng chắn cung OI) (4)
từ 3 zà 4
=>\(\widehat{IFO}=\widehat{DFO}=\widehat{FDO}\)
=>tam giacsDOF cân tại O
d)tam giác DOF cân => Oi là đường coa đồng thời là đường trung tuyến
=> I là trung điển của DF
mặt khác I là trung điểm của BE
=> tứ giác BDEF là hbh
=> BD//EF
hay AB//ÈF
xét tam giác ABC có
E là trung điểm cua BC (t/c tiếp tuyến)
EF//AB
=> EF là đường trung bình của tam giác ABC
=> F là trung điểm của AC(dpcm