Cho a,b,c thỏa mãn \(\hept{\begin{cases}a,b,c\in\left[0;2\right]\\a+b+c=3\end{cases}}\)
Chứng minh rằng a2+b2+c2<=5
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
3 tháng 8 2017
Ta có:
\(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=\frac{x+y}{c}\)
\(\Leftrightarrow\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=\frac{x+y}{-a-b}\)
\(\Leftrightarrow x\left(b^2+2ab\right)+y\left(a^2+2ab\right)=0\left(1\right)\)\
Ta cần chứng minh:
\(xa^2+yb^2=\left(x+y\right)c^2\)
\(\Leftrightarrow xa^2+yb^2=\left(x+y\right)\left(a+b\right)^2\)
\(\Leftrightarrow x\left(b^2+2ab\right)+y\left(a^2+2ab\right)=0\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) ta có ĐPCM
BH
26 tháng 3 2019
\(a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ac\right)=0\Rightarrow ab+bc+ac=-\frac{2009}{2}\)
\(\left(ab+bc+ac\right)^2=a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2+2abc\left(a+c+b\right)=a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2\)\(\Rightarrow a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2=\frac{2009^2}{4}\)
\(\left(a^2+b^2+c^2\right)^2=a^4+b^4+c^4+2\left(a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2\right)\)
\(\Rightarrow2009^2=a^4+b^4+c^4+\frac{2009^2}{4}\cdot2\)
\(\Rightarrow a^4+b^4+c^4=\frac{2009^2}{2}\)
24 tháng 5 2020
Ta có \(a^2+b^2+c^2=\left(a+b+c\right)^2-2\left(ab+bc+ca\right)=-2\left(ab+bc+ca\right)\)
\(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2=\left(ab+bc+ca\right)^2-2abc\left(a+b+c\right)=\left(\frac{a^2+b^2+c^2}{2}\right)^2=\frac{2009^2}{4}\)
\(A=a^4+b^4+c^4=\left(a^2+b^2+c^2\right)^2-2\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)=\frac{2009^2}{2}\)
DD
10 tháng 9 2016
\(\text{Chắc bn ghi thiếu đề :}\)
\(\hept{\begin{cases}a+b+c=0\\a^2+b^2+c^2=1\end{cases}}\)
\(Tính\)\(a^4+b^4+c^4\)
\(Giải:\)\(\text{Đặt}\)\(M=a^4+b^4+c^4\)
\(\left(a^2+b^2+c^2\right)^2=a^4+b^4+c^4+2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2\)
\(1=M=\left(2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2\right)\)
\(M=1-\left(2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2\right)=1-2\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)\)
\(\left(a+b+c\right)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac\)
\(0=1+2ab+2ac+2bc\)
\(2\left(ab+ac+bc\right)=-1\Rightarrow ab+ac+bc=-\frac{1}{2}\)
\(\left(ab+ac+bc\right)^2=a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2+2\left(a^2bc+ab^2c+abc^2\right)\)
\(\frac{1}{4}=^2b^2+a^2c^2+b^2c^2+2abc\left(a+b+c\right)\)
\(\Rightarrow^2b^2+a^2c^2+b^2c^2=\frac{1}{4}.0\left(vì\right)a+b+c=0\)
\(M=1-2.\frac{1}{4}=\frac{1}{2}\)