Tính tổng các nghiệm thuộc \(\left[0;2\pi\right]\)thỏa mãn phương trình:
\(\left(sin\frac{x}{2}+cos\frac{x}{2}\right)^2+\sqrt{3}cosx=3\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
CM
4 tháng 11 2019
Phương trình đã cho tương đương với
2 1 - cos x - 3 cos 2 x = 1 + 1 + cos 2 x - 3 π 2 ⇔ - 2 cos x = 3 cos 2 x - sin 2 x ⇔ - cos x = 3 2 cos 2 x - 1 2 sin 2 x ⇔ cos π - x = cos 2 x + π 6 ⇔ x = 5 π 18 + k 2 π 3 x = - 7 π 6 + k 2 π
Do x ∈ 0 ; π nên x ∈ 5 π 18 ; 17 π 18 ; 5 π 6 .
Vậy tổng các nghiệm là 37 π 18
Đáp án A
NM
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
5 tháng 10 2021
\(cos^4x-sin^4x=sin3x+cos4x\)
\(\Leftrightarrow\left(cos^2x+sin^2x\right)\left(cos^2x-sin^2x\right)=sin3x+cos4x\)
\(\Leftrightarrow cos2x=sin3x+cos4x\)
\(\Leftrightarrow cos4x-cos2x+sin3x=0\)
\(\Leftrightarrow-2sin3x.sinx+sin3x=0\)
\(\Leftrightarrow sin3x\left(1-2sinx\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}sin3x=0\\sinx=\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{k\pi}{3}\\x=\dfrac{\pi}{6}+k2\pi\\x=\dfrac{5\pi}{6}+k2\pi\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow x=\left\{0;\dfrac{\pi}{3};\dfrac{2\pi}{3};\pi;\dfrac{\pi}{6};\dfrac{5\pi}{6}\right\}\)
\(\Rightarrow\sum x=3\pi\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
18 tháng 1
ĐKXĐ: \(cosx\ne-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x\ne\dfrac{5\pi}{6}+k2\pi\\x\ne\dfrac{7\pi}{6}+k2\pi\end{matrix}\right.\)
\(pt\Rightarrow3-\left(1-2sin^2x\right)+2sinx.cosx-5sinx-cosx=0\)
\(\Leftrightarrow2sin^2x-5sinx+2+cosx\left(2sinx-1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(2sinx-1\right)\left(sinx-2\right)+cosx\left(2sinx-1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(2sinx-1\right)\left(sinx+cosx-2\right)=0\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}sinx=\dfrac{1}{2}\\sinx+cosx=2\left(vn\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{\pi}{6}+k2\pi\\x=\dfrac{5\pi}{6}+k2\pi\end{matrix}\right.\)
Loại nghiệm
\(\Rightarrow x=\dfrac{\pi}{6}+k2\pi\)
\(0\le\dfrac{\pi}{6}+k2\pi\le2022\pi\Rightarrow0\le k\le1010\)
\(\Rightarrow\sum x=1011.\dfrac{\pi}{6}+2\pi\left(0+1+2+...+1010\right)=\dfrac{1011\pi}{6}+2\pi.\dfrac{1010.1011}{2}=...\)