Question

[le thu hang]

cho a,b,c là các số thực thỏa mãn: 0=<a=<4;0=<b=<4;0=<c=<4 và a+b+c=6

tìm giá trị lớn nhất của biểu thức p=a²+b²+c²+ab+bc+ca

Answer 1

[Akai Haruma]

Lời giải:

\(P=(a+b+c)^2-(ab+bc+ac)=36-(ab+bc+ac)\) $(1)$

Vì \(0\leq a,b,c\leq 4\Rightarrow (a-4)(b-4)(c-4)\leq 0\)

\(\Leftrightarrow abc-4(ab+bc+ac)+16(a+b+c)-64\leq 0\)

\(\Leftrightarrow 4(ab+bc+ac)\geq 32+abc\geq 32\) (do \(abc\geq 0\) )

\(\Rightarrow ab+bc+ac\geq 8\) $(2)$

Từ \((1),(2)\Rightarrow P\leq 28\) hay \(P_{\max}=28\)

Dấu bằng xảy ra khi \((a,b,c)=(0,2,4)\) và các hoán vị của nó