Question

[Chi Nguyen]

Giúp em với ạ Bài 1: Cho tam giác ABC, biết đỉnh C(4;-1), đường cao và đường trung tuyến kẻ từ A lần lượt có phương trình là (d1):2x-3y+12=0 và (d2):2x+3y=0. Lập phương trình các cạnh tam giác ABC

Answer 1

[ngo hoang khang]

Gọi phương trình đường thẳng các cạnh AB, BC, CA của tam giác ABC lần lượt là (d_a), (d_b), (d_c). Giả sử A(x_A; y_A), B(x_B; y_B)

Ta có: \(\left(d_1\right)2x-3y+12=0\Rightarrow\left(d_1\right)y=\frac{2}{3}x+4\)

\(\left(d_2\right)2x+3y=0\Rightarrow\left(d_2\right)y=-\frac{2}{3}x\)

*Vì đường cao và đường trung tuyến đều kẻ từ A nên A là giao điểm của (d₁) và (d₂)

Phương trình hoành độ giao điểm của (d₁) và (d₂) là: \(\frac{2}{3}x+4=-\frac{2}{3}x\)

\(\Leftrightarrow\) x_A = x = -3

\(\Rightarrow y_A=-\frac{2}{3}.\left(-3\right)=2\Rightarrow A\left(-3;2\right)\)

Phương trình đường thẳng CA (d_c) thỏa mãn hệ phương trình

\(\left\{{}\begin{matrix}4a+b=-1\\-3a+b=2\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=-\frac{3}{7}\\b=\frac{5}{7}\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow\left(d_c\right)y=-\frac{3}{7}x+\frac{5}{7}\)(1)

* Ta có: (d₁)⊥(d_b)

\(\Rightarrow a.a_b=-1\) \(\Rightarrow a_b=-\frac{3}{2}\) \(\Rightarrow\left(d_b\right)y=-\frac{3}{2}x+b\)

Mà C(4;-1) ∈ (d_b) \(\Rightarrow-1=-\frac{3}{2}.4+b\)\(\Leftrightarrow b=5\Rightarrow\left(d_b\right)y=-\frac{3}{2}x+5\) (2)

* Giả sử AM là đường trung tuyến ứng với cạnh BC hay M là giao điểm của (d₂) và (d_b)

Phương trình hoành độ giao điểm của (d₂) và (d_b) là\(-\frac{2}{3}x=-\frac{3}{2}x+5\Leftrightarrow x_M=x=6\)\(\Rightarrow y_M=-\frac{2}{3}.6=-4\Rightarrow M\left(6;-4\right)\)

Ta có: \(CM=\sqrt{\left(6-4\right)^2+\left(-4+1\right)^2}=\sqrt{2^2+\left(-3\right)^2}=\sqrt{13}\left(đvd\right)\)Mà MB = CM\(\Rightarrow\sqrt{\left(x_B-6\right)^2+\left(y_B+4\right)^2}=\sqrt{13}\left(\circledast\right)\)

Điều kiện: B≠C\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_B\ne4\\y_B\ne-1\end{matrix}\right.\)

\(\circledast\Leftrightarrow x^2-12x+36+y^2+8y+16=13\left(x_B=x;y_B=y\right)\)

\(\Leftrightarrow x^2-12x+y\left(y+8\right)+39=0\)

Vì B ∈ (d_b) nên \(y=y_B=-\frac{3}{2}+5\). Phương trình đã cho trở thành:

\(x^2-12x+\left(-\frac{3}{2}x+5\right)\left(-\frac{3}{2}x+13\right)+39=0\)

\(\Leftrightarrow x^2-12x+\frac{9}{4}^2-\frac{39}{2}x-\frac{15}{2}x+65+39=0\)

\(\Leftrightarrow\frac{13}{4}x^2-39x+104=0\)\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x_B=x=8\left(nhận\right)\\x_B=x=4\left(loại\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow y_B=-\frac{3}{2}.8+5=-7\Rightarrow B\left(8;-7\right)\)

Phương trình đường thẳng AB thỏa mãn hệ phương trình:

\(\left\{{}\begin{matrix}-3a+b=2\\8a+b=-7\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=-\frac{9}{11}\\b=-\frac{5}{11}\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow\left(d_a\right)y=-\frac{9}{11}-\frac{5}{11}\left(3\right)\)

T