Question

[Online Math]

CHo a,b,c >0 , a+b+c= \(\frac{3}{4}\)

TÌm GTNN của; P= \(\frac{1}{\sqrt[3]{a+3b}}\frac{1}{\sqrt[3]{b+3c}}\frac{1}{\sqrt[3]{c+3a}}\)

Answer 1

[Akai Haruma]

Lời giải:

Áp dụng BĐT AM-GM:

\(\sqrt[3]{a+3b}=\sqrt[3]{1.1.(a+3b)}\leq \frac{1+1+a+3b}{3}\)

\(\Rightarrow \frac{1}{\sqrt[3]{a+3b}}\geq \frac{3}{a+3b+2}\)

Hoàn toàn tương tự với các phân thức còn lại và cộng theo vế:
$\Rightarrow P\geq 3\left(\frac{1}{a+3b+2}+\frac{1}{b+3c+2}+\frac{1}{c+3a+2}\right)$

Áp dụng BĐT Cauchy- Schwarz:

\(\frac{1}{a+3b+2}+\frac{1}{b+3c+2}+\frac{1}{c+3a+2}\geq \frac{9}{4(a+b+c)+6}=\frac{9}{4.\frac{3}{4}+6}=1\)

Do đó: $P\geq 3.1=3$

Vậy $P_{\min}=3$ khi $a=b=c=\frac{1}{4}$