Question

[Trần Hạnh Nguyên]

Cho HCN ABCD có AB=4cm; BC=3cm. Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ A đến xuống BD, phân giác của góc BCD cắt BD ở E
a, CM ΔAHB ∼ ΔBCD
b, CM AH . ED=HB . EB
c, Tính S_AEH

Answer 1

[Lương Đại]

a,Xét \(\Delta AHB\) và \(\Delta BCD\) có :

\(\widehat{H}=\widehat{C}=90^0\)

\(\widehat{ABH}=\widehat{BDC}\left(ABCD\cdot là\cdot HCN,slt\right)\)

\(\Rightarrow\Delta AHB\sim\Delta BCD\left(g-g\right)\)

b, Ta có : \(\Delta AHB\sim\Delta BCD\left(cmt\right)\)

\(\Rightarrow\dfrac{AH}{BC}=\dfrac{HB}{DC}\)

\(\Rightarrow\dfrac{AH}{HB}=\dfrac{BC}{DC}\left(1\right)\)

Ta có : EC là phân giác \(\widehat{BCD}\)

\(\Rightarrow\dfrac{EB}{ED}=\dfrac{BC}{CD}\left(2\right)\)

\(\left(1\right)\left(2\right)\Rightarrow\dfrac{AH}{HB}=\dfrac{EB}{ED}\)

\(\Rightarrow AH.ED=HB.EB\left(ĐPCM\right)\)

c, Xét ΔABD vuông tại A, định lý Pi-ta-go ta được :

\(\Rightarrow BD=\sqrt{AD^2+AB^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5\left(cm\right)\)

Xét \(\Delta HDA\) và \(\Delta ADB\) có  :

\(\widehat{A}=\widehat{AHB}=90^0\)

\(\widehat{D}:chung\)

\(\Rightarrow\Delta HDA\sim\Delta ADB\left(g-g\right)\)

\(\Rightarrow\dfrac{AH}{AB}=\dfrac{AD}{BD}\)

hay \(\dfrac{AH}{4}=\dfrac{3}{5}\)

\(\Rightarrow AH=\dfrac{4.3}{5}=2,4\left(cm\right)\)

Xét ΔAHD vuông tại H, định lí Pi-ta-go ta được :

\(\Rightarrow DH=\sqrt{3^2-2,4^2}=1,8\left(cm\right)\)

Ta có : EC là phân giác \(\widehat{BCD}\)

\(\Rightarrow\dfrac{EB}{ED}=\dfrac{BC}{DC}\)

hay \(\dfrac{EB}{ED}=\dfrac{3}{4}\)

\(\Rightarrow\dfrac{EB}{3}=\dfrac{ED}{4}=\dfrac{EB+ED}{3+4}=\dfrac{5}{7}\)

\(\Rightarrow EB=\dfrac{5}{7}.3=\dfrac{15}{7}\left(cm\right)\)

Ta có : \(EH=BD-DH-EB=5-1,8-\dfrac{15}{7}=\dfrac{37}{35}\) (cm)

\(\Rightarrow S_{AHE}=\dfrac{2,8.\dfrac{37}{35}}{2}=1,48\left(cm^2\right)\)