Cho hình thoi ABCD có phương trình cạnh CD: 7x - 11y - 53 = 0; AB: 7x - 11y +83 = 0, và đường chéo BD: 5x-3y+1=0. Xác định tọa độ các đỉnh A và C của hình thoi?
Mng giúp em vs ạ!!
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Lời giải:
$BD: x+2y-7=0; AD: x+3y-3=0$ nên $D$ chính là giao điểm của 2 PTĐT này.
\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x_D+2y_D-7=0\\ x_D+3y_D-3=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x_D=15\\ y_D=-4\end{matrix}\right.\)
Vì $ABCD$ là hình thoi nên $AC\perp BD$.
$\Rightarrow \overrightarrow{AC}=\overrightarrow{n_{BD}}=(1,2)$
$\Rightarrow \overrightarrow{n_{AC}}=(-2,1)$
PTĐT $AC$ là:
$-2(x-0)+1(y-1)=0\Leftrightarrow -2x+y-1=0\Leftrightarrow 2x-y+1=0$
Gọi $O$ là giao 2 đường chèo $AC, BD$.
\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} 2x_O-y_O+1=0\\ x_O+2y_O-7=0\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x_O=1\\ y_O=3\end{matrix}\right.\)
$O$ là trung điểm $BD$ nên: $x_B=2x_O-x_D=2-15=-13$
$y_B=2y_O-y_D=6+4=10$
Vì $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}$ nên PTĐT $BC$ có dạng:
$(x+13)+3(y-10)-3=0$
$\Leftrightarrow x+3y-30=0$
$O$ là trung điểm của $AC$ nên:
$x_C=2x_O-x_A=2-0=2$
$y_C=2y_C-y_A=6-1=5$
$\Rightarrow \overrightarrow{CD}=(13, -9)$
$\Rightarrow \overrightarrow{n_{CD}}=(9,13)$
PTĐT $CD$ là: $9(x-2)+13(y-5)=0\Leftrightarrow 9x+13y-83=0$
PTĐT $AB$ là: $9(x-0)+13(y-1)=0\Leftrightarrow 9x+13y-13=0$
B là giao điểm của BD và AB nên tọa độ thỏa mãn:
\(\left\{{}\begin{matrix}x+2y-7=0\\x+7y-7=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=7\\y=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow B\left(7;0\right)\)
Đường chéo AC qua A và vuông góc BD nên nhận (2;-1) là 1 vtpt
Phương trình AC:
\(2\left(x-0\right)-1\left(y-1\right)=0\Leftrightarrow2x-y+1=0\)
Gọi I là giao điểm AC và BD \(\Rightarrow\) I là tâm hình thoi, tọa độ I thỏa mãn:
\(\left\{{}\begin{matrix}2x-y+1=0\\x+2y-7=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=3\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow I\left(1;3\right)\)
I là trung điểm AC nên tọa độ C thỏa mãn:
\(\left\{{}\begin{matrix}x_C=2x_I-x_A=2\\y_C=2y_I-y_A=5\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow C\left(2;5\right)\)
I là trung điểm BD nên tọa độ D thỏa mãn:
\(\left\{{}\begin{matrix}x_D=2x_I-x_B=-5\\y_D=2y_I-y_B=6\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow D\left(-5;6\right)\)
Ta kiểm tra thấy đỉnh A(7; 4) không nằm trên các đường thẳng d 1 : 7 x − 3 y + 5 = 0 , d 2 : 3 x + 7 y − 1 = 0 nên đây là các cạnh CB, CD. Ta có
S = d A , B C . d A , C D = 7.7 − 3.4 + 5 7 2 + − 3 2 . 3.7 + 7.4 − 1 3 2 + 7 2 = 1008 29
ĐÁP ÁN D
A là giao điểm AB và AD nên tọa độ thỏa mãn:
\(\left\{{}\begin{matrix}2x-y-1=0\\x-2y-5=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow A\left(-1;-3\right)\)
Do I thuộc \(y^2=x\) nên tọa độ có dạng: \(I\left(a^2;a\right)\)
I là tâm hình thoi \(\Rightarrow d\left(I;AB\right)=d\left(I;AD\right)\Rightarrow\dfrac{\left|2a^2-a-1\right|}{\sqrt{2^2+\left(-1\right)^2}}=\dfrac{\left|a^2-2a-5\right|}{\sqrt{2^2+\left(-1\right)^2}}\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}2a^2-a-1=a^2-2a-5\\2a^2-a-1=-a^2+2a+5\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a^2+a+4=0\left(vn\right)\\3a^2-3a-6=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}a=-1\\a=2\end{matrix}\right.\)
TH1: \(a=-1\Rightarrow I\left(1;-1\right)\)
Do I là trung điểm AC nên tọa độ C: \(\left\{{}\begin{matrix}x_C=2x_I-x_A=3\\y_C=2y_I-y_A=1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow C\left(3;1\right)\)
Đường thẳng BC song song AD và đi qua C nên có pt:
\(1\left(x-3\right)-2\left(y-1\right)=0\Leftrightarrow x-2y-1=0\)
B là giao điểm AB và BC nên tọa độ thỏa mãn: \(\left\{{}\begin{matrix}2x-y-1=0\\x-2y-1=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow B...\)
Tương tự, đường thẳng CD song song AB và đi qua C nên có pt:
\(2\left(x-3\right)+1\left(y-1\right)=0\Leftrightarrow...\Rightarrow D\)
Tương tự với trường hợp \(a=2\Rightarrow I\left(4;2\right)\)
CD: x + 2y – 12 = 0 ⇒ CD nhận là một vtpt
⇒ CD nhận là một vtcp.
+ ABCD là hcn ⇒ AD ⊥ CD ⇒ AD nhận là một vtpt
A(5 ; 1) ∈ AD
⇒ Phương trình đường thẳng AD: 2( x- 5) – 1(y – 1) = 0 hay 2x – y – 9 = 0.
+ ABCD là hcn ⇒ AB // CD ⇒ AB nhận là một vtpt
A(5;1) ∈ AB
⇒ Phương trình đường thẳng AB: 1( x- 5) + 2(y -1) = 0 hay x + 2y – 7 = 0
+ ABCD là hcn ⇒ BC ⊥ CD ⇒ BC nhận là một vtpt
C(0, 6) ∈ CD
⇒ Phương trình đường thẳng BC: 2(x- 0)- 1(y – 6) =0 hay 2x – y + 6 = 0.
Gọi \(I=AM\cap BN\), \(\Delta BIM\) đồng dạng \(\Delta ABM\)
suy ra \(AM\perp BN\) nên \(BN:-2x-y+c=0\)
\(N\left(0;-2\right)\Rightarrow c=-2\Rightarrow BN:2x-y-2=0\)
Tọa độ điểm I là nghiệm hệ phương trình :
\(\begin{cases}x+2y-2=0\\2x-y-2=0\end{cases}\)\(\Leftrightarrow\begin{cases}x=\frac{6}{5}\\y=\frac{2}{5}\end{cases}\) \(\Rightarrow I\left(\frac{6}{5};\frac{2}{5}\right)\)
Từ \(\Delta ABM\) vuông : \(BI=\frac{AB.BM}{\sqrt{AB^2+BM^2}}=\frac{4}{\sqrt{5}}\)
Tọa độ điểm \(B\left(x;y\right)\) thỏa mãn \(\begin{cases}B\in BN\\BI=\frac{4}{\sqrt{5}}\end{cases}\) \(\Rightarrow\begin{cases}2x-y-2=0\\\left(\frac{6}{5}-x\right)^2+\left(\frac{2}{5}-y\right)^2=\frac{16}{5}\end{cases}\)
Giải hệ ta được \(\begin{cases}x=2\\y=2\end{cases}\) và \(\begin{cases}x=\frac{2}{5}\\y=\frac{-6}{5}\end{cases}\) Suy ra \(B\left(2;2\right)\) Loại \(\left(\frac{2}{5};-\frac{6}{5}\right)\)
Tọa đọ M(x;y) thỏa mãn \(\begin{cases}M\in AM\\IM=\sqrt{BM^2-BI^2}\end{cases}\) \(\Rightarrow\begin{cases}x+2y-2=0\\\left(x-\frac{6}{5}\right)^2+\left(y-\frac{2}{5}\right)^2=\frac{4}{5}\end{cases}\)
Giải hệ ta được : \(\begin{cases}x=2\\y=0\end{cases}\) và \(\begin{cases}x=\frac{2}{5}\\y=\frac{4}{5}\end{cases}\) suy ra \(M_1\left(2;0\right);M_2\left(\frac{2}{5};\frac{4}{5}\right)\)
Gọi H là chân đường cao kẻ từ đỉnh A xuống cạnh CD, theo giả thiết ta có:
⇒ AH là đường trung trực của đoạn CD nên AC = AD ( 1 )
Áp dụng định nghĩa của hình thoi ABCD, ta có
AD = AB = BC = CD ( 2 )
Từ ( 1 ) và ( 2 ) ta có AD = AC = CD ⇒ Δ ACD là tam giác đều
D là giao điểm CD và BD nên tọa độ là nghiệm:
\(\left\{{}\begin{matrix}7x-11y-53=0\\5x-3y+1=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow B\left(-5;-8\right)\)
B là giao điểm AB và BD nên tọa độ là nghiệm
\(\left\{{}\begin{matrix}7x-11y+83=0\\5x-3y+1=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow B\left(7;12\right)\)
\(\Rightarrow\overrightarrow{DB}=\left(12;20\right)=4\left(3;5\right)\)
Tâm O hình vuông là trung điểm BD \(\Rightarrow O\left(1;2\right)\)
Đường thẳng AC qua O và vuông góc BD nên có pt:
\(3\left(x-1\right)+5\left(y-2\right)=0\Leftrightarrow3x+5y-13=0\)
A là giao điểm AC và AB nên tọa độ là nghiệm:
\(\left\{{}\begin{matrix}3x+5y-13=0\\7x-11y+83=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow A\left(-4;5\right)\)
Tọa độ C: \(\left\{{}\begin{matrix}3x+5y-13=0\\7x-11y-53=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow C\left(6;-1\right)\)