Biết \(\frac{a}{2}=\frac{b}{3};\frac{a}{4}=\frac{c}{9}\) và \(^{a^3+b^3+c^3=-1009}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
HQ
Hà Quang Minh
Giáo viên
21 tháng 9 2023
a) Vì \(\frac{\pi }{2} < a < \pi \) nên \(\cos a < 0\). Do đó \(\cos a = \sqrt {1 - {{\sin }^2}a} = \sqrt {1 - \frac{1}{3}} = - \frac{{\sqrt 6 }}{3}\)
Ta có: \(\cos \left( {a + \frac{\pi }{6}} \right) = \cos a\cos \frac{\pi }{6} - \sin a\sin \frac{\pi }{6} = - \frac{{\sqrt 6 }}{3}.\frac{{\sqrt 3 }}{2} - \frac{1}{{\sqrt 3 }}.\frac{1}{2} = - \frac{{\sqrt 3 + 3\sqrt 2 }}{6}\)
b) Vì \(\pi < a < \frac{{3\pi }}{2}\) nên \(\sin a < 0\). Do đó \(\sin a = \sqrt {1 - {{\cos }^2}a} = \sqrt {1 - \frac{1}{9}} = - \frac{{2\sqrt 2 }}{3}\)
Suy ra \(\tan a\; = \frac{{\sin a}}{{\cos a}} = \frac{{ - \frac{{2\sqrt 2 }}{3}}}{{ - \frac{1}{3}}} = 2\sqrt 2 \)
Ta có: \(\tan \left( {a - \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{\tan a - \tan \frac{\pi }{4}}}{{1 + \tan a\tan \frac{\pi }{4}}} = \frac{{\frac{{\sin a}}{{\cos a}} - 1}}{{1 + \frac{{\sin a}}{{\cos a}}}} = \frac{{2\sqrt 2 - 1}}{{1 + 2\sqrt 2 }} = \frac{{9 - 4\sqrt 2 }}{7}\)
10 tháng 9 2017
sửa lại
\(A=\frac{a}{1+b^2}+\frac{b}{1+c^2}+\frac{c}{1+a^2}\)
\(=a-\frac{ab^2}{1+b^2}+b-\frac{bc^2}{1+c^2}+c-\frac{ca^2}{1+a^2}\)
áp dụng bđt cauchy ta có:
\(b^2+1\ge2b;c^2+1\ge2c;a^2+1\ge2a\)
\(\Rightarrow a-\frac{ab^2}{1+b^2}+b-\frac{bc^2}{1+c^2}+c-\frac{ca^2}{1+a^2}\ge a-\frac{ab^2}{2b}+b-\frac{bc^2}{2b}+c-\frac{ca^2}{2a}\)
\(=a+b+c-\frac{ab+bc+ca}{2}\)
áp dụng cauchy ta có:
\(\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ca\right)\Rightarrow ab+bc+ca\le\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}=3\)
\(\Rightarrow a+b+c-\frac{ab+bc+ca}{2}\ge3-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}\)
\(\Rightarrow\frac{a}{1+b^2}+\frac{b}{1+c^2}+\frac{c}{1+a^2}\ge\frac{3}{2}\left(Q.E.D\right)\)
dấu bằng xảy ra khi a=b=c=1
10 tháng 9 2017
đặt \(A=\frac{a}{1+b^2}+\frac{b}{1+c^2}+\frac{c}{1+a^2}=a-\frac{ab^2}{1+b^2}+b-\frac{bc^2}{1+c^2}+c-\frac{ca^2}{1+a^2}\)
\(=\left(a+b+c\right)-\left(\frac{ab^2}{b^2+1}+\frac{bc^2}{c^2+1}+\frac{ca^2}{a^2+1}\right)\le3-\left(\frac{ab^2}{2b}+\frac{bc^2}{2c}+\frac{ca^2}{2a}\right)=3-\left(\frac{ab+bc+ca}{2}\right)\ge3-\frac{\left(a+b+c\right)^2}{6}=\frac{3}{2}\left(Q.E.D\right)\)
10 tháng 10 2019
b) Ta có:
\(\frac{a}{\sqrt{b^2+3}}+\frac{a}{\sqrt{b^2+3}}+\frac{b^2+3}{8}+\frac{a^2}{2}\)\(\ge\)\(4\sqrt[4]{\frac{a^4}{16}}=2a\)
\(\frac{b}{\sqrt{c^2+3}}+\frac{b}{\sqrt{c^2+3}}+\frac{c^2+3}{8}+\frac{b^2}{2}\ge4\sqrt[4]{\frac{b^4}{16}}=2b\)
\(\frac{c}{\sqrt{a^2+3}}+\frac{c}{\sqrt{a^2+3}}+\frac{a^2+3}{8}+\frac{c^2}{2}\ge4\sqrt[4]{\frac{c^4}{16}}=2c\)
Cộng lại ta đươc:
\(2\left(\frac{a}{\sqrt{b^2+3}}+\frac{b}{\sqrt{c^2+3}}+\frac{c}{\sqrt{a^2+3}}\right)+\)\(\frac{5\left(a^2+b^2+c^2\right)+9}{8}\)\(\ge2\left(a+b+c\right)\)
⇒ \(2\left(\frac{a}{\sqrt{b^2+3}}+\frac{b}{\sqrt{c^2+3}}+\frac{c}{\sqrt{a^2+3}}\right)\ge\)\(6-\frac{5\left(a^2+b^2+c^2\right)+9}{8}\)(1)
Lại có: \(a^2+1\ge2a\); \(b^2+1\ge2b\); \(c^2+1\ge2c\)
Suy ra \(a^2+b^2+c^2\ge2\left(a+b+c\right)-3=3\)
Khi đó (1)⇔ \(2\left(\frac{a}{\sqrt{b^2+3}}+\frac{b}{\sqrt{c^2+3}}+\frac{c}{\sqrt{a^2+3}}\right)\ge\)\(6-\frac{5.3+9}{8}=3\)
⇒ \(\frac{a}{\sqrt{b^2+3}}+\frac{b}{\sqrt{c^2+3}}+\frac{c}{\sqrt{a^2+3}}\ge\frac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra ⇔ \(a=b=c=1\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
10 tháng 10 2019
\(\left(a^2+3b^2\right)\left(1+3\right)\ge\left(a+3b\right)^2\Rightarrow\sqrt{a^2+3b^2}\ge\frac{a+3b}{2}\)
\(\Rightarrow P=\sum\frac{ab}{\sqrt{a^2+3b^2}}\le2\sum\frac{ab}{a+3b}=2\sum\frac{ab}{a+b+b+b}\)
\(\Rightarrow P\le\frac{1}{8}\sum ab\left(\frac{1}{a}+\frac{3}{b}\right)=\frac{1}{8}\sum\left(3a+b\right)=\frac{1}{2}\left(a+b+c\right)=\frac{3}{2}\)
"=" \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)
OM
1
KN
11 tháng 1 2019
\(\text{Ta có : }\frac{a}{2}+\frac{b}{3}=\frac{a+b}{2+3}\)
\(\Leftrightarrow\frac{3a+2b}{6}=\frac{a+b}{5}\)
\(\Leftrightarrow5\left(3a+2b\right)=6\left(a+b\right)\)
\(\Leftrightarrow15a+10b=6a+6b\)
\(\Leftrightarrow9a+4b=0\)
\(\Rightarrow a=b=0\)
VT
14 tháng 8 2016
Bài 2: Mình nghĩ câu a là a+2b-3c=-20
a) Ta có: a/2 = b/3 = c/4 = 2b/6 = 3c/12 = a + 2b - 3c/ 2 + 6 - 12 = -20/-4 = 5
a/2 = 5 => a = 2 . 5 = 10
b/3 = 5 => b = 5 . 3 = 15
c/4 = 5 => c = 5 . 4 = 20
Vậy a = 10; b = 15; c = 20
b) Ta có: a/2 = b/3 => a/10 = b/15
b/5 = c/4 => b/15 = c/12
=> a/10 = b/15 = c/12 = a - b + c / 10 - 15 + 12 = -49/7 = -7
a/10 = -7 => a = -7 . 10 = -70
b/15 = -7 => b = -7 . 15 = -105
c/12 = -7 => c = -7 . 12 = -84
Vậy a = -70; b = -105; c = -84.
31 tháng 10 2016
1) \(\frac{2x-y}{x+y}=\frac{2}{3}\)
\(\Leftrightarrow\left(2x-y\right).3=2\left(x+y\right)\)
\(\Leftrightarrow6x-3y=2x+2y\)
\(\Leftrightarrow6x-2x=2y+3y\)
\(\Rightarrow4x=5y\)
\(\Rightarrow\frac{x}{y}=\frac{5}{4}\)
2) \(\begin{cases}\frac{b}{a}=2\\\frac{c}{b}=3\end{cases}\) \(\Rightarrow\begin{cases}b=2a\\c=3b\end{cases}\)
Khi đó: \(\frac{a+b}{b+c}=\frac{a+2a}{2a+3}\)
\(=\frac{a+2a}{2a+3.2a}\)
\(=\frac{3a}{8a}=\frac{3}{8}\)
Chúc bạn học tốt
1 tháng 1 2020
b) Ta có : \(\frac{a}{2}=\frac{b}{3}=\frac{c}{4}\)và a2 - b2 + 2c2 = 108
⇒ \(\frac{a^2}{4}=\frac{b^2}{9}=\frac{2c^2}{32}=\frac{a^2-b^2+2c^2}{4-9+32}=\frac{108}{27}=4\)
⇒ a2 = 4.4 =16 ⇔ a = 4 hoặc -4
b2 = 4.9 = 36 ⇔ b= 6 hoặc -6
2c2 = 4 .32 ⇔ c2 = 64 ⇔ c = 8 hoặc -8
Vậy các cặp ( a ; b ; c ) thỏa mãn là : ( 4; 6; 8 ) ; ( -4 ; -6 ; -8 )
\(\frac{a}{2}=\frac{b}{3}\Rightarrow\frac{a}{4}=\frac{b}{6}=\frac{c}{9}\)
\(\Rightarrow\frac{a^3}{4^3}=\frac{b^3}{6^3}=\frac{c^3}{9^3}=\frac{a^3+b^3+c^3}{64+216+729}=\frac{-1009}{1009}=-1\)
=>a3=-64=>a=-4
b3=216=>b=-6
c3=-729=>c=-9
Vậy (a;b;c)=(-4;-6;-9)
\(\frac{a}{2}=\frac{b}{3};\frac{a}{4}=\frac{c}{9}\)
suy ra: \(\frac{b}{12}=\frac{a}{8}=\frac{c}{18}suyra\frac{b^3}{1728}=\frac{a^3}{512}=\frac{c^3}{5832}\)
suy ra \(\frac{b^3+a^3+c^3}{1728+512+5832}=\frac{-1009}{8072}=\frac{-1}{8}\)
a/8= -1/8 suy ra a=-1
b/12=-1/8 suy ra b= -3/2
c/18=-1/8 suy ra c = -9/4
b/