cho :$\frac{1}{a} \frac{1}{b}$ $\frac{1}{c}$=2

DV

Đặng Vũ Hoàng

25 tháng 1 2017 - olm

cho :$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$+$\frac{1}{c}$=2 ;$\frac{1}{a^2}$+$\frac{1}{b^2}$+$\frac{1}{c^2}$=2 .CMR:a+b+c=abc2.Cho: $\frac{x}{a}$+$\frac{y}{b}$+$\frac{z}{c}$=0;$\frac{a}{x}$+$\frac{b}{y}$+$\frac{c}{z}$=2.Tính...

Đọc tiếp

#Toán lớp 8

0

NT

Nguyễn Thiều Công Thành

21 tháng 8 2017 - olm

cho a;b;c sao cho abc=1.CMR:$a+b+c+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}$

#Toán lớp 9

1

B

Bexiu

22 tháng 8 2017

Ta có: x² – x – 12 = x² – x – 16 + 4

= (x² – 16) – (x – 4)

= (x – 4).(x + 4) – (x – 4)

= (x – 4).(x + 4 – 1)

= (x – 4).(x + 3)

Đúng(0)

NT

Nguyễn Thị Kim Tuyến

16 tháng 10 2019 - olm

cho a,b,c>0

CMR:

$\left(a+b+\frac{1}{2}\right)^2+\left(b+c+\frac{1}{2}\right)^2+\left(c+a+\frac{1}{2}\right)^2\ge4\left(\frac{1}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}+\frac{1}{\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}+\frac{1}{\frac{1}{c}+\frac{1}{a}}\right)$

#Toán lớp 9

1

KS

Kudo Shinichi

16 tháng 10 2019

Áp dụng BĐT Cauchy ta có : $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{2}{\sqrt{ab}}\Rightarrow\frac{1}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}\le\frac{\sqrt{ab}}{2}$

Thiết lập tương tự và thu lại ta có :

$\Rightarrow VP\le4\left(\frac{\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}}{2}\right)=2\left(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}\right)\left(1\right)$

Áp dụng BĐT Cauchy ta có : $a+b\ge2\sqrt{ab}$
$\Rightarrow\left(a+b+\frac{1}{2}\right)^2\ge\left(2\sqrt{ab}+\frac{1}{2}\right)^2\ge2.2\sqrt{ab}.\frac{1}{2}=2\sqrt{ab}$

Thiết lập tương tự và thu lại ta có ;

$\Rightarrow VT\ge2\left(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}\right)\left(2\right)$

Từ (1) và (2) suy ra

$VT\ge VP$

$\Rightarrowđpcm$

Chúc bạn học tốt !!!

Đúng(0)

TQ

Trần Quốc Tuấn hi

3 tháng 11 2019 - olm

cho a,b,c>0 . CMR :

$\left(a+b+\frac{1}{2}\right)^2+\left(b+c+\frac{1}{2}\right)^2+\left(c+a+\frac{1}{2}\right)^2\ge4\left(\frac{1}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}+\frac{1}{\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}+\frac{1}{\frac{1}{c}+\frac{1}{a}}\right)$

#Toán lớp 9

1

KS

Kudo Shinichi

3 tháng 11 2019

Áp dụng bđt Cauchy ta có : $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{2}{\sqrt{ab}}\Rightarrow\frac{1}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}\le\frac{\sqrt{ab}}{2}$

Thiết lập tương tự và thu lại ta có :

$\Rightarrow VP\le4\left(\frac{\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}}{2}\right)=2\left(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}\right)\left(1\right)$

Áp dụng bđt Cauchy ta cso :
$a+b\ge2\sqrt{ab}$

$\Rightarrow\left(a+b+\frac{1}{2}\right)^2\ge\left(2\sqrt{ab}+\frac{1}{2}\right)^2\ge2.2\sqrt{ab}.\frac{1}{2}=2\sqrt{ab}$

Thiết lập tương tự và thu lại ta có :

$\Rightarrow VT\ge2\left(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}\right)\left(2\right)$

Từ (1) và (2)

$VT\ge VP$

$\Rightarrowđpcm$

Chúc bạn học tốt !!!

Đúng(0)

N

N.T.M.D

6 tháng 5 2021

Cho a,b,c > 0.Chứng minh...

Đọc tiếp

#Toán lớp 8

2

NV

Nguyễn Việt Lâm

Giáo viên

6 tháng 5 2021

Ta chứng minh BĐT sau với các số dương:

$\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\ge\dfrac{4}{x+y}$

Thật vậy, BĐT tương đương: $\dfrac{x+y}{xy}\ge\dfrac{4}{x+y}\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2\ge4xy$

$\Leftrightarrow x^2-2xy+y^2\ge0\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\ge0$ (luôn đúng)

Áp dụng:

$\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{4}{a+b}$ ; $\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge\dfrac{4}{b+c}$ ; $\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{a}\ge\dfrac{4}{c+a}$

Cộng vế với vế:

$2\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\ge\dfrac{4}{a+b}+\dfrac{4}{b+c}+\dfrac{4}{c+a}$

$\Leftrightarrow\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge\dfrac{2}{a+b}+\dfrac{2}{b+c}+\dfrac{2}{c+a}$

Đúng(0)

NV

Nguyễn Việt Lâm

Giáo viên

6 tháng 5 2021

b.

Ta có:

$\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{4}{a+b}\Rightarrow\dfrac{3}{a}+\dfrac{3}{b}\ge\dfrac{12}{a+b}$ (1)

$\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge\dfrac{4}{b+c}\Rightarrow\dfrac{2}{b}+\dfrac{2}{c}\ge\dfrac{8}{b+c}$ (2)

$\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{a}\ge\dfrac{4}{c+a}$ (3)

Cộng vế với vế (1); (2) và (3):

$\dfrac{4}{a}+\dfrac{5}{b}+\dfrac{3}{c}\ge4\left(\dfrac{3}{a+b}+\dfrac{2}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}\right)$ (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$

Đúng(0)

N

N.T.M.D

5 tháng 5 2021

Cho a,b,c > 0.Chứng minh...

Đọc tiếp

#Toán lớp 8

0

N

N.T.M.D

13 tháng 5 2021

Cho a,b,c >0 thỏa mãn a+b+c$\le$$\frac{3}{2}$.Chứng minh

a,$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$+$\frac{1}{c}$$\ge$6

b,a+ b+ c+ $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$$\ge$$\frac{15}{2}$

#Toán lớp 8

2

Y

Yeutoanhoc

13 tháng 5 2021

a)Áp dụng BĐT cosi-schwart:
`A=1/a+1/b+1/c>=9/(a+b+c)`
Mà `a+b+c<=3/2`
`=>A>=9:3/2=6`
Dấu "=" `<=>a=b=c=1/2`
b)Áp dụng BĐT cosi:
`a+1/(4a)>=1`
`b+1/(4b)>=1`
`c+1/(4c)>=1`
`=>a+b+c+1/(4a)+1/(4b)+1/(4c)>=3`
Ta có:
`1/a+1/b+1/c>=6`(Ở câu a)
`=>3/4(1/a+1/b+1/c)>=9/2`
`=>a+b+c+1/(a)+1/(b)+1/(c)>=3+9/2=15/2`
Dấu "=" `<=>a=b=c=1/2`

Đúng(2)

TT

Thành Trung Nguyễn Danh 8D

25 tháng 3 2022

a)Áp dụng BĐT cosi-schwart:
$A = \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \geq \frac{9}{a + b + c}$
Mà $a + b + c \leq \frac{3}{2}$
$\Rightarrow A \geq 9 : \frac{3}{2} = 6$
Dấu "=" $\Leftrightarrow a = b = c = \frac{1}{2}$
b)Áp dụng BĐT cosi:
$a + \frac{1}{4 a} \geq 1$
$b + \frac{1}{4 b} \geq 1$
$c + \frac{1}{4 c} \geq 1$
$\Rightarrow a + b + c + \frac{1}{4 a} + \frac{1}{4 b} + \frac{1}{4 c} \geq 3$
Ta có:
$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \geq 6$ (Ở câu a)
$\Rightarrow \frac{3}{4} (\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}) \geq \frac{9}{2}$
$\Rightarrow a + b + c + \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \geq 3 + \frac{9}{2} = \frac{15}{2}$
Dấu "=" $\Leftrightarrow a = b = c = \frac{1}{2}$

Đúng(0)

K

khoimzx

15 tháng 7 2020

a) cho x,y dương. CMR: $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}$

b) cho a+b+c=1 CMR: $\frac{a}{a+b^2}+\frac{b}{b+c^2}+\frac{c}{c+a^2}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)$

#Toán lớp 9

1

NV

Nguyễn Việt Lâm

Giáo viên

15 tháng 7 2020

a/ $\Leftrightarrow\frac{x+y}{xy}\ge\frac{4}{x+y}\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2\ge4xy$

$\Leftrightarrow x^2+y^2-2xy\ge0\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\ge0$ (luôn đúng)

Vậy BĐT đã cho đúng

b/ $\frac{a}{a+b^2}=\frac{a}{a\left(a+b+c\right)+b^2}=\frac{a}{a^2+b^2+a\left(b+c\right)}\le\frac{a}{2ab+a\left(b+c\right)}=\frac{1}{b+b+b+c}$

$\Rightarrow\frac{a}{a+b^2}=\frac{1}{b+b+b+c}\le\frac{1}{16}\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{b}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)=\frac{1}{16}\left(\frac{3}{b}+\frac{1}{c}\right)$

Tương tự: $\frac{b}{b+c^2}\le\frac{1}{16}\left(\frac{3}{c}+\frac{1}{a}\right)$ ; $\frac{c}{c+a^2}\le\frac{1}{16}\left(\frac{3}{a}+\frac{1}{c}\right)$

Cộng vế với vế:

$VT\le\frac{1}{16}\left(\frac{4}{a}+\frac{4}{b}+\frac{4}{c}\right)=\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)$

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{3}$

Đúng(0)

NT

Nguyễn Trung Dũng

1 tháng 11 2018 - olm

Cho $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{a+b+c}$

CMR $\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}=\frac{1}{a^2+b^2+c^2}$

Ai nhanh mk tich cho 3 cai

#Toán lớp 8

1

G

Girl

1 tháng 11 2018

$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{a+b+c}$

$\Leftrightarrow\frac{ab+bc+ac}{abc}=\frac{1}{a+b+c}$

$\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ac\right)-abc=0$

$\Leftrightarrow a^2b+abc+a^2c+b^2a+b^2c+abc+c^2b+c^2a=0$

$\Leftrightarrow ab\left(a+b\right)+ac\left(a+b\right)+bc\left(a+b\right)+c^2\left(a+b\right)=0$

$\Leftrightarrow\left(ab+ac+bc+c^2\right)\left(a+b\right)=0$

$\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(a+c\right)\left(b+c\right)=0$

So ez

....

Đúng(0)

BN

Bạch Ngọc Đường

5 tháng 12 2019 - olm

Cho a,b,c$\ge$0. CM

$\left(a+b+\frac{1}{4}\right)^2+\left(b+c+\frac{1}{4}\right)^2+\left(c+a+\frac{1}{4}\right)^2\ge4\left(\frac{1}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}+\frac{1}{\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}+\frac{1}{\frac{1}{c}+\frac{1}{a}}\right).$

#Toán lớp 9

4

T

tth_new

5 tháng 12 2019

Lời giải

Ta có: $\left(a+b+\frac{1}{4}\right)^2=\frac{1}{16}\left(4a+4b-1\right)^2+\left(a+b\right)\ge a+b$

Tương tự: $\left(b+c+\frac{1}{4}\right)^2\ge b+c;\left(c+a+\frac{1}{4}\right)^2\ge c+a$

Như vậy: $L.H.S\left(VT\right)\ge\left(a+b\right)+\left(b+c\right)+\left(c+a\right)=\left(\frac{1}{\frac{1}{a}}+\frac{1}{\frac{1}{b}}\right)+\left(\frac{1}{\frac{1}{b}}+\frac{1}{\frac{1}{c}}\right)+\left(\frac{1}{\frac{1}{c}}+\frac{1}{\frac{1}{a}}\right)$

$\ge4\left(\frac{1}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}+\frac{1}{\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}+\frac{1}{\frac{1}{c}+\frac{1}{a}}\right)=R.H.S\left(VP\right)$

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{8}$. Ta có đpcm.

Đúng(0)

N

Nyatmax

5 tháng 12 2019

khác cách tth xíu

Ta có:

$VP=\Sigma_{cyc}\frac{4}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}\le\Sigma_{cyc}\frac{4}{\frac{4}{a+b}}=2\left(a+b+c\right)$

Gio ta di chung minh

$VT\ge2\left(a+b+c\right)$

Ta lai co:

$VT=\Sigma_{cyc}\left(a+b+\frac{1}{4}\right)^2\ge\frac{\left[2\left(a+b+c\right)+\frac{3}{4}\right]^2}{3}$

Chung minh

$\frac{\left[2\left(a+b+c\right)+\frac{3}{4}\right]^2}{3}\ge2\left(a+b+c\right)$

$\Leftrightarrow\left[2\left(a+b+c\right)-\frac{3}{4}\right]^2\ge0$ (đúng)

Dau '=' xay ra khi $a=b=c=\frac{1}{8}$

Đúng(0)

HT

Hoàng Tử Lớp Học

3 tháng 9 2016 - olm

cho a, b, c>0. CMR a$\frac{a^3}{b}\ge a^2+ab-b^2$

CM $\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{a^2}\ge\frac{c}{b}+\frac{b}{a}+\frac{a}{c}$

Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của tam giác CM $\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{c+a-b}\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$

#Toán lớp 8

1

LD

l҉o҉n҉g҉ d҉z҉

26 tháng 11 2020

Tự nhiên lục được cái này :'(

3. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có :

$\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{a+b-c+b+c-a}=\frac{4}{2b}=\frac{2}{b}$

$\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{c+a-b}\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{b+c-a+c+a-b}=\frac{4}{2c}=\frac{2}{c}$

$\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{c+a-b}\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{a+b-c+c+a-b}=\frac{4}{2a}=\frac{2}{a}$

Cộng theo vế ta có điều phải chứng minh

Đẳng thức xảy ra <=> a = b = c

Đúng(0)

Chúng tôi đề xuất

Tài nguyên

Ứng dụng mobile

Bảng xếp hạng

Các khóa học có thể bạn quan tâm

Yêu cầu VIP