Question

[Trịnh Thị Lan]

Tìm số tự nhiên nhỏ hơn 1400 biết số đó chia cho 42 dư 34, chia cho 41 dư 25

Answer 1

[kamikaze]

Ta cần giải hệ phương trình đồng dư:

1. x≡34(mod42)x \equiv 34 \pmod{42}

2. x≡25(mod41)x \equiv 25 \pmod{41}

Bước 1: Tìm biểu thức cho xx

Từ phương trình 1, ta có:

x=42k+34x = 42k + 34

với kk là số nguyên.

Bước 2: Thay vào phương trình 2 42k+34≡25(mod41)42k + 34 \equiv 25 \pmod{41}

Vì 42 ≡ 1 (mod 41), ta có:

k+34≡25(mod41)k + 34 \equiv 25 \pmod{41} Bước 3: Giải phương trình k+34≡25(mod41)k + 34 \equiv 25 \pmod{41} k≡25−34(mod41)k \equiv 25 - 34 \pmod{41} k≡−9(mod41)k \equiv -9 \pmod{41} k≡32(mod41)k \equiv 32 \pmod{41}

vì -9 + 41 = 32.

Vậy k=41m+32k = 41m + 32 với mm là số nguyên.

Bước 4: Thay lại vào biểu thức của xx x=42(41m+32)+34x = 42(41m + 32) + 34 x=1722m+1344+34x = 1722m + 1344 + 34 x=1722m+1378x = 1722m + 1378 Bước 5: Tìm giá trị của xx nhỏ hơn 1400

Ta có x=1722m+1378x = 1722m + 1378. Để xx nhỏ hơn 1400:

1722m+1378<14001722m + 1378 < 1400 1722m<221722m < 22 m<221722m < \frac{22}{1722} m<0.0128m < 0.0128

Vậy m=0m = 0 là giá trị duy nhất thỏa mãn.

Kết quả

Khi m=0m = 0:

x=1722×0+1378=1378x = 1722 \times 0 + 1378 = 1378

Answer 2

[kamikaze]

Tìm số tự nhiên nhỏ hơn 1400, chia cho 42 dư 34 và chia cho 41 dư 25:

1. Đặt x=42k+34x = 42k + 34.

2. Thay vào phương trình x≡25
   x \equiv 25 \pmod{41}:

42k+34≡25
42k + 34 \equiv 25 \pmod{41} k+34≡25
k + 34 \equiv 25 \pmod{41} k≡−9
k \equiv -9 \pmod{41} k≡32
k \equiv 32 \pmod{41}

3. Vậy k=41m+32k = 41m + 32.

4. Thay vào xx:

x=42(41m+32)+34x = 42(41m + 32) + 34 x=1722m+1378x = 1722m + 1378

5. Để x<1400x < 1400:

1722m+1378<14001722m + 1378 < 1400 m=0m = 0

Vậy, x=1378x = 1378.

Kết quả là 1378.