Câu hỏi của Thầy Cao Đô

Question

Bài 4. (2,5 điểm) Cho tam giác $K B C$ vuông tại $K$ ($K B < K C$). Tia phân giác của $\widehat{B}$ cắt cạnh $K C$ tại $H$. Qua $C$ vẽ đường thẳng vuông góc với tia $BH$ cắt đường thẳng $BH$ tại $I$....

Kiều Vũ Linh · Accepted Answer

a) Xét hai tam giác vuông: $\Delta BHK$ và $\Delta CHI$ có:$\widehat{BHK}=\widehat{CHI}$ (đối đỉnh)$\Rightarrow\Delta BHK$ ∽ $\Delta CHI\left(g-g\right)$b) Do $BH$ là tia phân giác của $\widehat{KBC}$ (gt)$\Rightarrow\widehat{KBH}=\widehat{CBH}$$\Rightarrow\widehat{KBH}=\widehat{CBI}$ (1)Do $\Delta BHK$ ∽ $\Delta CHI\left(cmt\right)$$\Rightarrow\widehat{KBH}=\widehat{ICH}$ (2)Từ (1) và (2) $\Rightarrow\widehat{ICH}=\widehat{CBI}$Xét hai tam giác vuông: $\Delta CIB$ và $\Delta HIC$ có:$\widehat{CBI}=\widehat{ICH}\left(cmt\right)$$\Rightarrow\Delta CIB$ ∽ $\Delta HIC\left(g-g\right)$$\Rightarrow\dfrac{CI}{IH}=\dfrac{IB}{CI}$$\Rightarrow CI^2=IH.IB$c) Do $CI\perp BH$ tại $I$ (gt)$\Rightarrow BI\perp AC$$\Rightarrow BI$ là đường cao của $\Delta ABC$Lại có:$CK\perp KB\left(gt\right)$$\Rightarrow CK\perp AB$$\Rightarrow CK$ là đường cao thứ hai của $\Delta ABC$Mà H là giao điểm của $BI$ và $CK$ (gt)$\Rightarrow AH$ là đường cao thứ ba của $\Delta ABC$$\Rightarrow AD\perp BC$Xét hai tam giác vuông: $\Delta BKH$ và $\Delta BDH$ có:$BH$ là cạnh chung$\widehat{KBH}=\widehat{DBH}$ (do BH là tia phân giác của $\widehat{B}$)$\Rightarrow\Delta BKH=\Delta BDH$ (cạnh huyền - góc nhọn)$\Rightarrow BK=BD$ (hai cạnh tương ứng)$\Rightarrow B$ nằm trên đường trung trực của DK (3)Do $\Delta BKH=\Delta BDH\left(cmt\right)$$\Rightarrow HK=HD$ (hai cạnh tương ứng)$\Rightarrow H$ nằm trên đường trung trực của DK (4)Từ (3) và (4) $\Rightarrow BH$ là đường trung trực của DK$\Rightarrow\widehat{DKH}+\widehat{BHK}=90^0$Mà $\widehat{BHK}=\widehat{CHI}$ (cmt)$\Rightarrow\widehat{DKH}+\widehat{CHI}=90^0$ (*)$\Delta ABC$ có:$BH$ là đường phân giác (cmt)$BH$ cũng là đường cao (cmt)$\Rightarrow\Delta ABC$ cân tại B$\Rightarrow BH$ là đường trung trực của $\Delta ABC$$\Rightarrow I$ là trung điểm của AC$\Rightarrow KI$ là đường trung tuyến của $\Delta AKC$$\Delta AKC$ vuông tại K có KI là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền AC$\Rightarrow KI=IC=IA=\dfrac{AC}{2}$$\Rightarrow\Delta IKC$ cân tại $I$$\Rightarrow\widehat{IKC}=\widehat{ICK}$$\Rightarrow\widehat{IKH}=\widehat{ICH}$Mà $\widehat{ICH}+\widehat{CHI}=90^0$$\Rightarrow\widehat{IKH}+\widehat{CHI}=90^0$ (**)Từ (*) và (**) $\Rightarrow\widehat{IKH}=\widehat{DKH}$$\Rightarrow KH$ là tia phân giác của $\widehat{IKD}$Hay $KC$ là tia phân giác của $\widehat{IKD}$Câu trả lời: a) Xét hai tam giác vuông: $\Delta BHK$ và $\Delta CHI$ có:$\widehat{BHK}=\widehat{CHI}$ (đối đỉnh)$\Rightarrow\Delta BHK$ ∽ $\Delta CHI\left(g-g\right)$b) Do $BH$ là tia phân giác của $\widehat{KBC}$ (gt)$\Rightarrow\widehat{KBH}=\widehat{CBH}$$\Rightarrow\widehat{KBH}=\widehat{CBI}$ (1)Do $\Delta BHK$ ∽ $\Delta CHI\left(cmt\right)$$\Rightarrow\widehat{KBH}=\widehat{ICH}$ (2)Từ (1) và (2) $\Rightarrow\widehat{ICH}=\widehat{CBI}$Xét hai tam giác vuông: $\Delta CIB$ và $\Delta HIC$ có:$\widehat{CBI}=\widehat{ICH}\left(cmt\right)$$\Rightarrow\Delta CIB$ ∽ $\Delta HIC\left(g-g\right)$$\Rightarrow\dfrac{CI}{IH}=\dfrac{IB}{CI}$$\Rightarrow CI^2=IH.IB$c) Do $CI\perp BH$ tại $I$ (gt)$\Rightarrow BI\perp AC$$\Rightarrow BI$ là đường cao của $\Delta ABC$Lại có:$CK\perp KB\left(gt\right)$$\Rightarrow CK\perp AB$$\Rightarrow CK$ là đường cao thứ hai của $\Delta ABC$Mà H là giao điểm của $BI$ và $CK$ (gt)$\Rightarrow AH$ là đường cao thứ ba của $\Delta ABC$$\Rightarrow AD\perp BC$Xét hai tam giác vuông: $\Delta BKH$ và $\Delta BDH$ có:$BH$ là cạnh chung$\widehat{KBH}=\widehat{DBH}$ (do BH là tia phân giác của $\widehat{B}$)$\Rightarrow\Delta BKH=\Delta BDH$ (cạnh huyền - góc nhọn)$\Rightarrow BK=BD$ (hai cạnh tương ứng)$\Rightarrow B$ nằm trên đường trung trực của DK (3)Do $\Delta BKH=\Delta BDH\left(cmt\right)$$\Rightarrow HK=HD$ (hai cạnh tương ứng)$\Rightarrow H$ nằm trên đường trung trực của DK (4)Từ (3) và (4) $\Rightarrow BH$ là đường trung trực của DK$\Rightarrow\widehat{DKH}+\widehat{BHK}=90^0$Mà $\widehat{BHK}=\widehat{CHI}$ (cmt)$\Rightarrow\widehat{DKH}+\widehat{CHI}=90^0$ (*)$\Delta ABC$ có:$BH$ là đường phân giác (cmt)$BH$ cũng là đường cao (cmt)$\Rightarrow\Delta ABC$ cân tại B$\Rightarrow BH$ là đường trung trực của $\Delta ABC$$\Rightarrow I$ là trung điểm của AC$\Rightarrow KI$ là đường trung tuyến của $\Delta AKC$$\Delta AKC$ vuông tại K có KI là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền AC$\Rightarrow KI=IC=IA=\dfrac{AC}{2}$$\Rightarrow\Delta IKC$ cân tại $I$$\Rightarrow\widehat{IKC}=\widehat{ICK}$$\Rightarrow\widehat{IKH}=\widehat{ICH}$Mà $\widehat{ICH}+\widehat{CHI}=90^0$$\Rightarrow\widehat{IKH}+\widehat{CHI}=90^0$ (**)Từ (*) và (**) $\Rightarrow\widehat{IKH}=\widehat{DKH}$$\Rightarrow KH$ là tia phân giác của $\widehat{IKD}$Hay $KC$ là tia phân giác của $\widehat{IKD}$

Phan Minh Ngọc · Answer

a) Vì tam giác 𝐾𝐵𝐶KBC vuông tại 𝐾K suy ra 𝐾𝐵𝐻^=90∘KBH=90∘

Vì 𝐶𝐼⊥𝐵𝐼CI⊥BI (gt) suy ra 𝐶𝑙𝐻^=90∘ClH=90∘

Xét △𝐾𝐵𝐻△KBH và △𝐶𝐻𝐼△CHI có:

𝐾𝐵𝐻^=𝐶𝐼𝐻^=90∘KBH=CIH=90∘;

𝐵𝐻𝐾^=𝐶𝐻𝐼^BHK=CHI (đối đỉnh)

Suy ra Δ𝐵𝐻𝐾∽Δ𝐶𝐻𝐼ΔBHK∽ΔCHI (g.g)

b) Ta có Δ𝐵𝐻𝐾∽Δ𝐶𝐻𝐼ΔBHK∽ΔCHI suy ra 𝐻𝐵𝐾^=𝐻𝐶𝐼^HBK=HCI (hai góc tương ứng)

Mà 𝐵𝐻BH là tia phân giác của 𝐴𝐵𝐶^ABC nên 𝐻𝐵𝐾^=𝐻𝐵𝐶^HBK=HBC.

Do đó 𝐻𝐵𝐶^=𝐻𝐶𝐼^HBC=HCI.

Xét △𝐶𝐼𝐵△CIB và △𝐻𝐼𝐶△HIC có:

𝐶𝐼𝐵^CIB chung;

𝐼𝐵𝐶^=𝐻𝐶𝐼^IBC=HCI (cmt)

Vậy Δ𝐶𝐼𝐵≈Δ𝐻𝐼𝐶ΔCIB≈ΔHIC (g.g) suy ra 𝐶𝐼𝐻𝐼=𝐼𝐵𝐼𝐶HICI​=ICIB​

Hay 𝐶𝐼2=𝐻𝐼.𝐼𝐵CI2=HI.IB

c) Xét △𝐴𝐵𝐶△ABC có 𝐵𝐼⊥𝐴𝐶BI⊥AC; 𝐶𝐾⊥𝐴𝐵CK⊥AB; 𝐵𝐼∩𝐶𝐾={𝐻}BI∩CK={H}

Nên 𝐻H là trực tâm △𝐴𝐵𝐶△ABC suy ra 𝐴𝐻⊥𝐵𝐶AH⊥BC tại 𝐷D.

Từ đó ta có △𝐵𝐾𝐶∽△𝐻𝐷𝐶△BKC∽△HDC (g.g) nên 𝐶𝐵𝐶𝐻=𝐶𝐾𝐶𝐷CHCB​=CDCK​

Suy ra 𝐶𝐵𝐶𝐾=𝐶𝐻𝐶𝐷CKCB​=CDCH​ nên △𝐵𝐻𝐶∽△𝐾𝐷𝐶△BHC∽△KDC (c.g.c)

Khi đó 𝐻𝐵𝐶^=𝐷𝐾𝐶^HBC=DKC (hai góc tương ứng)

Chứng minh tương tự 𝐻𝐴𝐶^=𝐼𝐾𝐶^HAC=IKC

Mà 𝐻𝐴𝐶^=𝐻𝐵𝐶^HAC=HBC (cùng phụ 𝐴𝐶𝐵^ACB )

Suy ra  𝐷𝐾𝐶^=𝐼𝐾𝐶^ DKC=IKC.

Vậy 𝐾𝐶KC là tia phân giác của 𝐼𝐾𝐷^IKD.Câu trả lời: