Question

[Thầy Tùng Dương]

Cho tam giác ABC vuông tại A, lấy  điểm D thuộc cạnh huyền BC (D không trùng B và C) . Gọi M, N lần lượt đối xứng với D qua AB, AC. Gọi I là giao điểm của MD với AB, K  là giao điểm của ND với AC.

a) Chứng minh tứ giác AIDK là hình chữ nhật.

b) Chứng minh M đối xứng với N qua A.

c) Tìm vị trí của D trên cạnh BC sao cho CM đi qua trung điểm của IK.

Answer 1

[Hoàng Cẩm Phương]

Answer 2

[Hưng]

a) Tứ giác AIDK là hình chữ nhật

b) M đối xứng với N qua A

c) Để CM đi qua trung điểm của IK thì D là trung điểm cạnh BC

Giải thích các bước giải:

a)

M đối xứng với D qua AB (gt)

I là giao điểm của MD với AB (gt)

$\to MI=ID,MD\perp AB$ tại I

Tương tự: $NK=KD,ND\perp AC$ tại K

Xet tứ giác AIDK:

$\widehat{IAK}={90}^o\left(AB\perp AC\right)\widehat{AID}={90}^o\left(DI\perp AB\right)\widehat{AKD}={90}^o\left(DK\perp AC\right)$

$\to$ Tứ giác AIDK là hình chữ nhật (tứ giác có 3 góc vuông)

$\to$ 2 đường chéo AD và IK cắt nhau tại trung điểm mỗi đường là điểm O

$\to ID//AK,ID=AK;IA//DK,IA=DK$

b)

Xét tứ giác MIKA:

$MI//AK\left(ID//AK\right)MI=AK(=ID)$

$\to$ Tứ giác MIKA là hình bình hành (2 cạnh đối song song và bằng nhau)

$\to MA//IK,MA=IK$

Xét tứ giác AIKN:

$IA//KN\left(IA//DK\right)IA=KN(=DK)$

$\to$ Tứ giác AIKN là hình bình hành (2 cạnh đối song song và bằng nhau)

$\to AN//IK,AN=IK$

$\to$ M, A, N thẳng hàng

$\to MA=AN$

$\to$ M đối xứng với N qua A

c)

Để CM đi qua trung điểm của IK

Hay CM đi qua điểm O

$\to$ CM cắt AD tại trung điểm O của mỗi đường

$\to$ Tứ giác CAMD là hình bình hành (2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường)

$\to MD=AC\to 2ID=AC\to ID=\frac{1}{2}AC$

Mà $ID//AC\left(ID//AK\right)$

$\to$ ID là đường trung bình của $△ABC$

$\to$ D là trung điểm của BC

Vậy để CM đi qua trung điểm của IK thì D là trung điểm cạnh BC