Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Theo em bài này chỉ có min thôi nhé!
Rất tự nhiên để khử căn thức thì ta đặt \(\left(\sqrt{x};\sqrt{y};\sqrt{z}\right)=\left(a;b;c\right)\ge0\)
Khi đó \(M=\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}\) với abc = \(\sqrt{xyz}=1\) và a,b,c > 0
Dễ thấy \(\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}=\frac{b^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{c^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{a^3}{c^2+ca+a^2}\)
(chuyển vế qua dùng hằng đẳng thức là xong liền hà)
Do đó \(2M=\frac{a^3+b^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3+c^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3+a^3}{c^2+ca+a^2}\)
Đến đây thì chứng minh \(\frac{a^3+b^3}{a^2+ab+b^2}\ge\frac{1}{3}\left(a+b\right)\Leftrightarrow\frac{2}{3}\left(a-b\right)^2\left(a+b\right)\ge0\)(đúng)
Áp dụng vào ta thu được: \(2M\ge\frac{2}{3}\left(a+b+c\right)\Rightarrow M\ge\frac{1}{3}\left(a+b+c\right)\ge\sqrt[3]{abc}=1\)
Vậy...
P/s: Ko chắc nha!
\(P=\sqrt{\frac{1}{36}\left(11a+7b\right)^2+\frac{59\left(a-b\right)^2}{36}}+\sqrt{\frac{1}{36}\left(7a+11b\right)+\frac{59\left(a-b\right)^2}{36}}\)
\(=\sqrt{\frac{1}{16}\left(3a+5b\right)^2+\frac{5\left(a-b\right)^2}{16}}+\sqrt{\frac{1}{16}\left(5a+3b\right)^2+\frac{5\left(a-b\right)^2}{16}}\)
\(\ge\frac{1}{6}\left(11a+7b\right)+\frac{1}{6}\left(7a+11b\right)+\frac{1}{4}\left(3a+5b\right)+\frac{1}{4}\left(5a+3b\right)\)
\(=5\left(a+b\right)=5.2016=10080\)
Mình nghĩ phần phân thức là $3x+3y+2z$ thay vì $3x+3y+3z$. Nếu là vậy thì bạn tham khảo lời giải tại link sau:
Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn đẳng thức xy yz zx=5. Tìm GTNN của biểu thức \(P=\frac{3x 3y 2z}{\sqrt{6\left(... - Hoc24
mình cảm ơn bạn nhiều ạ <3 bạn có thể giúp mình mấy câu mình vừa đăng không
*Tìm Max:
Do x,y,z là các số không âm và x + y + z = 3 nên \(0\le x,y,z\le3\)
Trước hết ta chứng minh:\(\sqrt{x^2-6x+26}\le\frac{\left(\sqrt{17}-\sqrt{26}\right)}{3}x+\sqrt{26}\) với \(0\le x\le3\)
\(\Leftrightarrow\frac{2}{9}\left(\sqrt{442}-17\right)x\left(3-x\right)\ge0\) (đúng)
Tương tự 2 bất đẳng thức còn lại và cộng theo vế thu được: \(M\le\sqrt{17}+2\sqrt{26}\)
Đẳng thức xảy ra khi \(\left(x;y;z\right)=\left(3;0;0\right)\) và các hoán vị.
*Tìm min:
Ta có: \(\sqrt{x^2-6x+26}=\sqrt{\frac{1}{21}\left(2x-23\right)^2+\frac{17}{21}\left(x-1\right)^2}\)
\(\ge\sqrt{\frac{1}{21}\left(2x-23\right)^2}=\sqrt{\frac{1}{21}}\left|2x-23\right|=\sqrt{\frac{1}{21}}\left(23-2x\right)\) (vì \(2x-23\le2.3-23< 0\) )
Tương tự hai BĐT còn lại và cộng theo vế:
\(M\ge\sqrt{\frac{1}{21}}\left(69-2\left(x+y+z\right)\right)=3\sqrt{21}\)
Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=z=1\)
Đặt \(a=\sqrt{x},b=\sqrt{y}\) thì \(a,b\ge0\)
\(P=a^2-2ab+3b^2-2a+2004,5=\left(\frac{a^2}{3}-2ab+3b^2\right)+\left(\frac{2}{3}a^2-2a+\frac{3}{2}\right)+2003\)
\(=\left(\frac{a}{\sqrt{3}}-\sqrt{3}b\right)^2+\frac{2}{3}\left(a-\frac{3}{2}\right)^2+2003\ge2003\)
Dấu "=" xảy ra khi a = 3/2 , b = 1/2
Vậy Min P = 2003 khi x = 9/4 , y = 1/4
Đặt \(a=\sqrt{x},b=\sqrt{y}\) thì \(a,b\ge0\)
\(P=a^2-2ab+3b^2-2a+2004,5=\left(\frac{a^2}{3}-2ab+3b^2\right)+\left(\frac{2}{3}a^2-2a+\frac{3}{2}\right)+2003\)
\(=\left(\frac{a}{\sqrt{3}}-\sqrt{3}b\right)^2+\frac{2}{3}\left(a-\frac{3}{2}\right)^2+2003\ge2003\)
Dấu "=" xảy ra khi a = 3/2 , b = 1/2
Vậy Min P = 2003 khi x = 9/4 , y = 1/4