Question

[Thầy Cao Đô]

Cho hai đường thẳng $xy$ // $mn$, đường thẳng $a$ cắt hai đường thẳng $xy$ và $mn$ lần lượt tại ${A}$ và ${B}$. Kẻ tia phân giác của $\widehat{{xAB}}$ và tia phân giác của $\widehat{{ABm}}$, chúng cắt nhau tại ${C}$. Kẻ tia phân giác của $\widehat{{BAy}}$ và tia phân giác của $\widehat{{ABn}}$, chúng cắt nhau tại $D$. Chứng minh rằng:

a) ${AC} \perp {AD} ; {BD} \perp {BC}$.

b) ${AD} / / {BC} ; {AC} / / {BD}$.

c) Góc ${ACB}$ và góc $BDA$ là các góc vuông. 

Answer 1

[Đặng Lâm Hồng Phúc]

a) $AC$ và $AD$ là hai tia phân giác của hai góc kề bù, nên: $AC\perp AD$.

$BC$ và $BD$ là hai tia phân giác của hai góc kề bù, nên: $BC\perp BD$.

b) Vì $xy$ // $mn\Rightarrow \widehat{yAB}=\widehat{ABm}$ (hai góc so le trong).

Vậy $\widehat{A^3}=\widehat{B^2}$ (cùng bằng $\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{2}\widehat{yAB}$ và $\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{2}\widehat{ABm}$).

Suy ra: $AD//BC$.

$xy$ // $mn\Rightarrow \widehat{xAB}=\widehat{ABn}$ (hai góc so le trong).

Vậy $\widehat{A^2}=\widehat{B^3}$ (cùng bằng $\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{2}\widehat{xAB}$ và $\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{2}\widehat{ABn}$).

Suy ra: $AC//BD$.

c) $AD$ // $BD$ (theo chứng minh b), $BD\perp BC$ (theo chứng minh a).

Vậy $AD\perp BD$ ($BD$ vuông góc với một trong hai đường song song thì vuông góc với đường còn lại).

Suy ra: $\widehat{ADB}=90^{\circ }$.

Tương tự: $AD$ // $BC$ (theo chứng minh b); $AD\perp AC$ (theo chứng minh a).

Vậy $AC\perp BC$ (như trên).

Suy ra: $\widehat{ACB}=90^{\circ }$.

Answer 2

[Hoàng Quang Thanh]