Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(x-2\sqrt{x}+1+y-1-2\sqrt{y-1}+1+z-2-2\sqrt{z-2}+1=0\)
\(\left(\sqrt{x}-1\right)^2+\left(\sqrt{y-1}-1\right)^2+\left(\sqrt{z-2}-1\right)^2=0\)
x =1
y= 2
z =3
S= 12+22+32= 14
Biết x; y; z là nghiệm của \(\sqrt{x}+\sqrt{y-1}+\sqrt{z-2}=\frac{x+y+z}{2}\)
Vậy \(S=x^2+y^2+z^2=?\)
x;y;z là nghiệm của PT: \(\sqrt{x}+\sqrt{y-1}+\sqrt{z-2}=\frac{x+y+z}{2}\left(1\right)\)=> đk: x >=0; y >= 1 ; z >= 2.
Ta có:
- \(\left(\sqrt{x}-1\right)^2\ge0\Rightarrow x-2\sqrt{x}+1\ge0\Rightarrow\sqrt{x}\le\frac{x+1}{2}\)(a)
- Tương tự: \(\sqrt{y-1}\le\frac{y-1+1}{2}=\frac{y}{2}\)(b)
- và: \(\sqrt{z-2}\le\frac{z-2+1}{2}=\frac{z-1}{2}\)(c)
- Do đó: \(\sqrt{x}+\sqrt{y-1}+\sqrt{z-2}=\frac{x+1+y+z-1}{2}=\frac{x+y+z}{2}\)hay VT(1) <= VP(1) với mọi x;y;z.
Vậy để (1) thỏa mãn thì dấu "=" xảy ra hay các BĐT (a); (b); (c) xảy ra. Khi đó, x = 1; y = 2; z = 3.
Bài 1 bạn nhân \(\left(b-\sqrt{b^2+2017}\right)\)sau đó nó tạo thành hăng đẳng thức,sau đó tiếp tục nhân liên hợp,là ra a=-b
\(\Rightarrow a+b=0\)
1/ Ta có:
\(\hept{\begin{cases}\left(a+\sqrt{a^2+2017}\right)\left(\sqrt{a^2+2017}-a\right)\left(b+\sqrt{b^2+2017}\right)=2017\left(\sqrt{a^2+2017}-a\right)\\\left(a+\sqrt{a^2+2017}\right)\left(\sqrt{b^2+2017}-b\right)\left(b+\sqrt{b^2+2017}\right)=2017\left(\sqrt{b^2+2017}-b\right)\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}2017\left(b+\sqrt{b^2+2017}\right)=2017\left(\sqrt{a^2+2017}-a\right)\\2017\left(a+\sqrt{a^2+2017}\right)=2017\left(\sqrt{b^2+2017}-b\right)\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}b+\sqrt{b^2+2017}=\sqrt{a^2+2017}-a\left(1\right)\\a+\sqrt{a^2+2017}=\sqrt{b^2+2017}-b\left(2\right)\end{cases}}\)
Lấy (1) + (2) vế theo vế ta được
\(a+b=0\)
Ta có : \(\sqrt{x}+\sqrt{y-1}+\sqrt{z-2}=\frac{x+y+z}{2}\Leftrightarrow2\sqrt{x}+2\sqrt{y-1}+2\sqrt{z-2}=x+y+z\)
\(\Leftrightarrow\left(x-2\sqrt{x}+1\right)+\left(y-1-2\sqrt{y-1}+1\right)+\left(z-2-2\sqrt{z-2}+1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x}-1\right)^2+\left(\sqrt{y-1}-1\right)^2+\left(\sqrt{z-2}-1\right)^2=0\)
Vì \(\left(\sqrt{x}-1\right)^2\ge0\) , \(\left(\sqrt{y-1}-1\right)^2\ge0\), \(\left(\sqrt{z-2}-1\right)^2\ge0\) nên phương trình trên tương đương với
\(\hept{\begin{cases}\left(\sqrt{x}-1\right)^2=0\\\left(\sqrt{y-1}-1\right)^2=0\\\left(\sqrt{z-2}-1\right)^2=0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=1\\y=2\\z=3\end{cases}}}\)
Từ đó tính được : \(x^2+y^2+z^2=1^2+2^2+3^2=14\)
Ta có:
\(\sqrt{x}+\sqrt{y-1}+\sqrt{z-2}\)
=\(\sqrt{x.1}+\sqrt{\left(y-1\right).1}+\sqrt{\left(z-2\right).1}\)
\(\le\frac{x+1}{2}+\frac{y-1+1}{2}+\frac{z-2+1}{2}\)
=\(\frac{x+y+z}{2}\)
Dấu"=" xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}x=1\\y=2\\z=3\end{cases}}\)
Ta có:x2+y2+z2=1+22+32=14