Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Chọn C.
Vì 
nên
Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB
Tam giác ABM đều nên 
Theo định lý Pitago ta có:
Suy ra
a: \(\overrightarrow{AE}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{EC}\)
=>E nằm giữa A và C và AE=2/3EC
Ta có: AE+EC=AC(E nằm giữa A và C)
=>\(AC=\dfrac{2}{3}EC+EC=\dfrac{5}{3}EC\)
=>\(\dfrac{AE}{AC}=\dfrac{\dfrac{2}{3}EC}{\dfrac{5}{3}EC}=\dfrac{2}{3}:\dfrac{5}{3}=\dfrac{2}{5}\)
=>\(AE=\dfrac{2}{5}AC\)
=>\(\overrightarrow{AE}=\dfrac{2}{5}\cdot\overrightarrow{AC}\)
\(\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AE}\)
\(=-\overrightarrow{AB}+\dfrac{2}{5}\cdot\overrightarrow{AC}\)
b: \(\left|\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IG}\right|=\left|\overrightarrow{IA}-\overrightarrow{IG}\right|\)
=>\(\left[{}\begin{matrix}\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IG}=\overrightarrow{IA}-\overrightarrow{IG}\\\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IG}=\overrightarrow{IG}-\overrightarrow{IA}\end{matrix}\right.\)
=>\(\left[{}\begin{matrix}2\cdot\overrightarrow{IG}=\overrightarrow{0}\\2\cdot\overrightarrow{IA}=\overrightarrow{0}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}I\equiv G\\I\equiv A\end{matrix}\right.\)
1: A(2;0); B(-3;4); C(1;-5)
Tọa độ vecto AB là:
\(\left\{{}\begin{matrix}x=-3-2=-5\\y=4-0=4\end{matrix}\right.\)
=>\(\overrightarrow{AB}=\left(-5;4\right)\)
Tọa độ vecto AC là:
\(\left\{{}\begin{matrix}x=1-2=-1\\y=-5-0=-5\end{matrix}\right.\)
Vậy: \(\overrightarrow{AC}=\left(-1;-5\right)\)
\(\overrightarrow{AB}=\left(-5;4\right)\)
Vì \(\left(-1\right)\cdot\left(-5\right)=5< >-20=-5\cdot4\)
nên A,B,C không thẳng hàng
=>A,B,C là ba đỉnh của một tam giác
2: Tọa độ trọng tâm G của ΔABC là:
\(\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{2-3+1}{3}=\dfrac{0}{3}=0\\y=\dfrac{0+4-5}{3}=-\dfrac{1}{3}\end{matrix}\right.\)
3:
\(\overrightarrow{AB}=\left(-5;4\right);\overrightarrow{DC}=\left(1-x;-5-y\right)\)
ABCD là hình bình hành
nên \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}1-x=-5\\-5-y=4\end{matrix}\right.\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}x=1+5=6\\y=-5-4=-9\end{matrix}\right.\)
Vậy: D(6;-9)
4: \(\overrightarrow{MA}=\left(2-x;-y\right);\overrightarrow{MB}=\left(-3-x;4-y\right);\overrightarrow{MC}=\left(1-x;-5-y\right)\)
\(2\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+3\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}2\left(2-x\right)+\left(-3-x\right)+3\left(1-x\right)=0\\2\left(-y\right)+\left(4-y\right)+3\left(-5-y\right)=0\end{matrix}\right.\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}4-2x-3-x+3-3x=0\\-2y+4-y-15-3y=0\end{matrix}\right.\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}-6x+4=0\\-6y-11=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-6x=-4\\-6y=11\end{matrix}\right.\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{2}{3}\\y=-\dfrac{11}{6}\end{matrix}\right.\)
vậy: \(M\left(\dfrac{2}{3};-\dfrac{11}{6}\right)\)
5:
A(2;0); B(-3;4); C(1;-5); N(x;y)
A là trọng tâm của ΔBNC
=>\(\left\{{}\begin{matrix}x_A=\dfrac{x_B+x_N+x_C}{3}\\y_A=\dfrac{y_B+y_N+y_C}{3}\end{matrix}\right.\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}2=\dfrac{-3+1+x}{3}\\0=\dfrac{4-5+y}{3}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x-2=6\\y-1=0\end{matrix}\right.\)
=>x=8 và y=1
Vậy: N(8;1)
6: A là trung điểm của BE
=>\(\left\{{}\begin{matrix}x_B+x_E=2\cdot x_A\\y_B+y_E=2\cdot y_A\end{matrix}\right.\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}-3+x_E=2\cdot2=4\\4+y_E=2\cdot0=0\end{matrix}\right.\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}x_E=7\\y_E=-4\end{matrix}\right.\)
Vậy: E(7;-4)
Câu 2:
Ta có: ΔABC vuông tại A
=>\(AB^2+AC^2=BC^2\)
=>\(BC^2=\left(2a\right)^2+\left(2a\sqrt{3}\right)^2=16a^2\)
=>BC=4a
Xét ΔABC vuông tại A có \(sinB=\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{1}{2}\)
nên \(\widehat{ABC}=30^0\)
ΔABC vuông tại A
=>\(\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=90^0\)
=>\(\widehat{ACB}=60^0\)
Lấy điểm E sao cho \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BE}\)
=>B là trung điểm của AE
=>\(\widehat{CBE}+\widehat{CBA}=180^0\)(hai góc kề bù)
=>\(\widehat{CBE}=180^0-30^0=150^0\)
\(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BE}\cdot\overrightarrow{BC}\)
\(=BE\cdot BC\cdot cos\left(\overrightarrow{BE};\overrightarrow{BC}\right)\)
\(=2a\sqrt{3}\cdot4a\cdot cos150=-12a^2\)
\(\left|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}\right|=\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CA}\right|=\left|\overrightarrow{CB}\right|=CB=4a\)
a)Có \(b^2+c^2-a^2=cosA.2bc\)
\(S=\dfrac{1}{2}bc.sinA\)\(\Rightarrow4S=2bc.sinA\)
\(\Rightarrow\dfrac{b^2+c^2-a^2}{4S}=\dfrac{cosA.2bc}{2bc.sinA}=cotA\) (dpcm)
b) CM tương tự câu a \(\Rightarrow\dfrac{a^2+c^2-b^2}{4S}=\dfrac{cosB.2ac}{2ac.sinB}=cotB\); \(\dfrac{a^2+b^2-c^2}{4S}=\dfrac{cosC.2ab}{2ab.sinC}=cotC\)
Cộng vế với vế \(\Rightarrow cotA+cotB+cotC=\dfrac{b^2+c^2-a^2}{4S}+\dfrac{a^2+c^2-b^2}{4S}+\dfrac{a^2+b^2-c^2}{4S}\)\(=\dfrac{a^2+b^2+c^2}{4S}\) (dpcm)
c) Gọi ma;mb;mc là độ dài các đường trung tuyến kẻ từ đỉnh A;B;C của tam giác ABC
Có \(GA^2+GB^2+GC^2=\dfrac{4}{9}\left(m_a^2+m_b^2+m_b^2\right)\)\(=\dfrac{4}{9}\left[\dfrac{2\left(b^2+c^2\right)-a^2}{4}+\dfrac{2\left(a^2+c^2\right)-b^2}{4}+\dfrac{2\left(b^2+c^2\right)-a^2}{4}\right]\)
\(=\dfrac{4}{9}.\dfrac{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}{4}=\dfrac{a^2+b^2+c^2}{3}\) (đpcm)
d) Có \(a\left(b.cosC-c.cosB\right)=ab.cosC-ac.cosB\)
\(=\dfrac{a^2+b^2-c^2}{2}-\dfrac{a^2+c^2-b^2}{2}\)
\(=b^2-c^2\) (dpcm)
G là trọng tâm tam giác ABC => \(\vec{GA}+\vec{GB}+\vec{GC}=\vec{0}\) => \(\vec{GB}+\vec{GC}=-\vec{GA}\) => \(\left|\vec{GB}+\vec{GC}\right|=\left|-\vec{GA}\right|=GA\)
Tam giác ABC vuông tại nên có trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng 1/2 cạnh huyền BC ; Mà G là trong tâm tam giác nên GA = 2/3 . (1/2. BC) = BC/3 = 5
=> \(\left|\vec{GB}+\vec{GC}\right|=5\)
Đáp án A