N
0
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
6 tháng 11 2015
1) A = \(\frac{x^2+\left(y-z\right)\left(y+z\right)}{y+z}+\frac{y^2+\left(z-x\right)\left(z+x\right)}{z+x}+\frac{\left(x-y\right)\left(x+y\right)+z^2}{x+y}\)
A = \(\frac{x^2}{y+z}+\left(y-z\right)+\frac{y^2}{z+x}+\left(z-x\right)+\left(x-y\right)+\frac{z^2}{x+y}\)
A = \(\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{z^2}{x+y}\)
Nhân cả hai vế của \(\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y}=1\) với x ta được:
\(\frac{x^2}{y+z}+\frac{yx}{z+x}+\frac{zx}{x+y}=x\)
Tương tự, ta nhân hai vế với y; z rồi cộng từng vế 2 đẳng thức với nhau ta được:
\(\left(\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{z^2}{x+y}\right)+\left(\frac{xy}{z+x}+\frac{yz}{z+x}\right)+\left(\frac{xy}{y+z}+\frac{xz}{y+z}\right)+\left(\frac{zx}{x+y}+\frac{yz}{x+y}\right)=x+y+z\)
=> A + \(\frac{\left(x+z\right)y}{z+x}+\frac{\left(y+z\right)x}{y+z}+\frac{z\left(x+y\right)}{x+y}\) = x+ y + z
=> A + y + x + z = x + y + z
=> A = 0
Vậy A = 0
TT
5
26 tháng 11 2016
Ta có
x3 + y3 + z3 + x + y + z = 2x2 + 2y2 + 2z2
<=> (x3 - 2x2 + x) + (y3 - 2y2 + y) + (z3 - 2z2 + z) = 0
\(\Leftrightarrow\left(x\sqrt{x}-\sqrt{x}\right)^2+\left(y\sqrt{y}-\sqrt{y}\right)^2+\left(z\sqrt{z}-\sqrt{z}\right)^2=0\)
Tới đây đơn giản rồi nên bạn tự làm tiếp nhé
Y
4 tháng 12 2017
\(\left\{{}\begin{matrix}x+y+z=1\\x^2+y^2+z^2=1\\x^3+y^3+z^3=1\end{matrix}\right.\)
☘ Ta có:
\(yz=\dfrac{\left(y+z\right)^2-\left(y^2+z^2\right)}{2}\)
\(=\dfrac{\left(1-x\right)^2-\left(1-x^2\right)}{2}=x^2-x\)
☘ Thay vào phương trình thứ 3
\(\Rightarrow1=x^3+y^3+z^3=x^3+\left(y+z\right)^3-3yz\left(y+z\right)\)
\(=x^3+\left(1-x\right)^3-3\left(x^2-x\right)\left(1-x\right)\)
\(=1+3x^3-3x^2\)
\(\Rightarrow3x^2\left(x-1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=1\end{matrix}\right.\)
⚠ Chia thành hai trường hợp, rồi tự giải tiếp nhé.
⚠ Nguồn: Ý tưởng xuất phát từ [Báo TTT - số 71 mục "Thi giải toán qua thư"]
⚠ Có thể có cách khác ngắn gọn, dễ hiểu hơn.
Y
4 tháng 12 2017
✿ Another way ✿
☘ Ta có:
\(\left(x+y+z\right)^2=x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+xz\right)\)
\(\Rightarrow xy+z\left(x+y\right)=0\)
\(\Rightarrow xy=-z\left(x+y\right)=-z\left(1-z\right)=z^2-z\left(1\right)\)
☘ Mặt khác
\(x^3+y^3+z^3-3xyz=\left(x+y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz\right)\)
\(\Rightarrow xyz=0\left(2\right)\)
☘ Thay (1) vào (2)
\(\Rightarrow z\left(z^2-z\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}z=0\\z=1\end{matrix}\right.\)
⚠ Cũng chia thành hai trường hợp rồi giải tiếp nhé.
TL
0
AH
Akai Haruma
Giáo viên
19 tháng 1 2021
Lời giải:
Bạn cần bổ sung điều kiện $x,y,z>0$
\(P=\frac{1}{x.\frac{y^2+z^2}{y^2z^2}}+\frac{1}{y.\frac{z^2+x^2}{z^2x^2}}+\frac{1}{z.\frac{x^2+y^2}{x^2y^2}}=\frac{1}{x(\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2})}+\frac{1}{y(\frac{1}{z^2}+\frac{1}{x^2})}+\frac{1}{z(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2})}\)
\(=\frac{1}{x(3-\frac{1}{x^2})}+\frac{1}{y(3-\frac{1}{y^2})}+\frac{1}{z(3-\frac{1}{z^2})}=\frac{x}{3x^2-1}+\frac{y}{3y^2-1}+\frac{z}{3z^2-1}\)
Vì $\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}=3\Rightarrow x^2, y^2, z^2>\frac{1}{3}$
Xét hiệu:
\(\frac{x}{3x^2-1}-\frac{1}{2x^2}=\frac{(x-1)^2(2x+1)}{2x^2(3x^2-1)}\geq 0\) với mọi $x>0$ và $x^2>\frac{1}{3}$
$\Rightarrow \frac{x}{3x^2-1}\geq \frac{1}{2x^2}$
Hoàn toàn tương tự với các phân thức còn lại và cộng theo vế ta có:
$P\geq \frac{1}{2}(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2})=\frac{3}{2}$
Vậy $P_{\min}=\frac{3}{2}$ khi $x=y=z=1$