Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(1-c=a+b\ge2\sqrt{ab}\Rightarrow4ab\le\left(1-c\right)^2\)
\(2bc+ca\le2bc+2ca=2c\left(a+b\right)=2c\left(1-c\right)\)
Từ đó ta có:
\(P\le\left(1-c\right)^2+2c\left(1-c\right)=1-c^2\le1\)
\(P_{max}=1\) khi \(\left(a;b;c\right)=\left(\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2};0\right)\)
Ta có thể giải bài toán này bằng cách sử dụng phương pháp điều chỉnh biểu thức P để biểu thức này có thể được phân tích thành tổng của các biểu thức có dạng a(x-y)+b(y-z)+c(z-x), trong đó x,y,z là các số thực không âm. Khi đó, ta có:
P = ab + bc - ca = a(b-c) + b(c-a) + c(a-b) = a(-c+b) + b(c-a) + c(-b+a) = a(x-y) + b(y-z) + c(z-x), với x = -c+b, y = c-a và z = -b+a
Do đó, để tìm giá trị lớn nhất của P, ta cần tìm các giá trị lớn nhất của x, y, z. Ta có:
x = -c+b ≤ b, vì c ≥ 0 y = c-a ≤ c ≤ 2022, vì a+b+c = 2022 z = -b+a ≤ a, vì b ≥ 0
Vậy giá trị lớn nhất của P là:
P_max = ab + bc - ca ≤ b(2022-a) + 2022a = 2022b
Tương tự, để tìm giá trị nhỏ nhất của P, ta cần tìm các giá trị nhỏ nhất của x, y, z. Ta có:
x = -c+b ≥ -2022, vì b ≤ 2022 y = c-a ≥ 0, vì c ≤ 2022 và a ≥ 0 z = -b+a ≥ -2022, vì a ≤ 2022
Vậy giá trị nhỏ nhất của P là:
P_min = ab + bc - ca ≥ (-2022)a + 0b + (-2022)c = -2022(a+c)
Do đó, giá trị lớn nhất của P là 2022b và giá trị nhỏ nhất của P là -2022(a+c).
Ta có:
\(2M=\frac{2ab}{a+b+2}=\frac{\left(a+b\right)^2-\left(a^2+b^2\right)}{a+b+2}\)
\(=\frac{\left(a+b\right)^2-4}{a+b+2}=a+b-2\le\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}-2\)
\(=2\sqrt{2}-2\)
\(\Rightarrow M\le\sqrt{2}-1\)
Ta có :
\(2M=\frac{2ab}{a+b+2}\)
\(=\frac{\left(a+b\right)^2-\left(a^2+b^2\right)}{a+b+2}\)
\(=\frac{\left(a+b\right)^2-4}{a+b+2}\)
\(\Leftrightarrow a+b-2\le\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}-2\)
\(=2\sqrt{2}-2\)
\(\Leftrightarrow M\le\sqrt{2}-1\)