Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a) Xét tứ giác ABOC có
\(\widehat{ABO}\) và \(\widehat{ACO}\) là hai góc đối
\(\widehat{ABO}+\widehat{ACO}=180^0\)
Do đó: ABOC là tứ giác nội tiếp(Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp)
a: Xét ΔEAB và ΔEBD có
góc EAB=góc EBD
góc AEB chung
=>ΔEAB đồng dạng với ΔEBD
b: ΔEAB đồng dạng với ΔEBD
=>EB^2=EA*ED
Xét ΔEPD và ΔEAP có
góc EPD=góc EAP
góc PED chung
=>ΔEPD đồng dạng với ΔEAP
=>EP^2=ED*EA=EB^2
=>EP=EB
=>AE là trung tuyến của ΔPAB
b) Ta thấy (O) giao (I) tại 2 điểm B và D => BD vuông góc OI (tại K) => ^OKB=900.
Xét đường tròn (I) đường kính AB có H thuộc cung AB => AH vuông góc HB hay AH vuông góc BC (1)
AB và AC là 2 tiếp tuyến của (O) => \(\Delta\)ABC cân tại A. Mà AO là phân giác ^BAC
=> AO vuông góc BC (2)
Từ (1) và (2) => A;H;O thẳng hàng => ^OHB=900.
Xét tứ giác BOHK: ^OKB=^OHB=900 => Tứ giác BOHK nội tiếp đường tròn đường kính OB
=> ^OKH = ^OBH. Lại có ^OBH=^OAB (Cùng phụ ^HBA) => ^OKH = ^OAB
Hay ^OKH = ^HAI. Mà ^OKH + ^KHI = 1800 nên ^HAI + ^KHI = 1800
=> Tứ giác AIKH nội tiếp đường tròn (đpcm).
b) Dễ thấy OI là trung trực của BD và OI cắt BD tại K => K là trung điểm của BD
\(\Delta\)ABC cân đỉnh A có đường phân giác AH => H là trung điểm BC
Từ đó suy ra HK là đường trung bình của \(\Delta\)BDC
=> HK//CD => ^HKD + ^CDK = 1800 (3). Đồng thời \(\frac{HK}{CD}=\frac{1}{2}\)
Tương tự KI là đường trg bình của \(\Delta\)BAD => KI//AD => ^DKI + ^ADK = 1800 (4) Và \(\frac{IK}{AD}=\frac{1}{2}\)
Cộng (3) với (4) => ^KHD + ^KDI + ^CDK + ^ ADK = 3600
<=> ^HKI = 3600 - (^CDK + ^ADK) => ^HKI = ^CDA.
Xét \(\Delta\)HKI và \(\Delta\)CDA: ^HKI=^CDA; \(\frac{HK}{CD}=\frac{IK}{AD}=\frac{1}{2}\)=> \(\Delta\)HKI ~ \(\Delta\)CDA (c.g.c)
=> ^HIK = ^CAD. Mặt khác: ^CAD = ^DBE (Cùng chắn cung DE) => ^HIK=^DBE.
Mà tứ giác AIKH nội tiếp đường tròn => ^HIK=^HAK = >^DBE=^HAK hay ^KBF=^FAK
=> Tứ giác BKFA nội tiếp đường tròn => Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABF đi qua điểm K (đpcm).
â) Xét tứ giác PAOB , co :
\(\widehat{A}=90^o\) ( PA là tiếp tuyến )
\(\widehat{B}=90^o\)( PB là tiếp tuyến )
\(\widehat{A}+\widehat{B}=90^o+90^o=180^o\)
Vay : tứ giác PAOB nội tiếp ( vì có tổng số đo hai góc đối diện bằng 180o )
b) Xét \(\Delta PAEva\Delta PCA,co:\)
\(\widehat{P}\) là góc chung
\(\widehat{ACE}=\widehat{EAP}\) ( góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn một cung )
Do đó : \(\Delta PAE~\Delta PCA\)( g - g )
\(=>\frac{PA}{PE}=\frac{PC}{PA}\)
\(=>PA^2=PE.PC\)
c)
c, ta có góc APC=PCB (slt vì BC//PA)
mà góc PCB=PBE =1/2sđcungBE ( góc nội tiếp chắn cung BE và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung BE)
suy ra góc APC=PBE
xét hai tam giác PIE và BIP có
góc I chung
góc IBE=IBP(cmt)
suy ra hai tam giác đó đồng dạng
suy ra PI/BI=IE/PI
suy ra PI^2=BI*IE (1)
xét hai tam giác AIE và BIA có
góc I chung
góc IAE=ABI=1/2sđ cung AE ( góc nội tiếp chắn cung AE và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung AE)
suy ra hai tam giác đó đồng dạng
suy ra AI/BI=EI/AI
suy ra AI^2=BI*EI (2)
từ 1 và 2 suy ra PI=AI( đpcm)