Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a) Ta có: \(\angle ABO+\angle ACO=90+90=180\Rightarrow ABOC\) nội tiếp
Lại có: \(\angle AIO=\angle ABO=90\Rightarrow ABIO\) nội tiếp
\(\Rightarrow A,B,I,O,C\) cùng thuộc 1 đường tròn
\(\Rightarrow ABIC\) nội tiếp
\(\Rightarrow\angle AIB=\angle ACB=\angle ABC\) (\(\Delta ABC\) cân tại A) \(=\angle AIC\)
\(\Rightarrow IA\) là phân giác \(\angle CIB\)
b) Xét \(\Delta ABM\) và \(\Delta ANB:\) Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\angle ABM=\angle ANB\\\angle NABchung\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\Delta ABM\sim\Delta ANB\left(g-g\right)\Rightarrow\dfrac{AB}{AN}=\dfrac{AM}{AB}\Rightarrow AB^2=AM.AN\)
mà \(AB^2=AH.AO\) (hệ thức lượng) \(\Rightarrow AH.AO=AM.AN\)
\(\Rightarrow\dfrac{AH}{AM}=\dfrac{AN}{AO}\)
Xét \(\Delta AHM\) và \(\Delta ANO:\) Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{AH}{AM}=\dfrac{AN}{AO}\\\angle NAOchung\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\Delta AHM\sim\Delta ANO\left(c-g-c\right)\Rightarrow\angle AHM=\angle ANO\)
\(\Rightarrow MHON\) nội tiếp \(\Rightarrow H\in\left(OMN\right)\)
Tạm câu c) làm sau :<
a. AB là tiếp tuyến của đt (O) tại B (gt) => \(\widehat{OBA}=90^o\)
AC là tiếp tuyến của đt (O) tại C (gt) => \(\widehat{OCA}=90^o\)
Xét tứ giác ABOC có: \(\widehat{OBA}+\widehat{OCA}=90^o+90^o=180^o\)=> Tứ giác ABOC nội tiếp đường tròn (Dhnb) => Đpcm
b.
Xét đt (O) có: \(\widehat{ABD}=\frac{1}{2}sđ\widebat{BD}\)(T/c góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung)
\(\widehat{BED}=\widehat{BEA}=\frac{1}{2}sđ\widebat{BD}\)(T/c góc nội tiếp của đt) (Do A,D,E (gt) => \(\widehat{BED}=\widehat{BEA}\))
=> \(\widehat{ABD}=\widehat{BEA}\)
Xét \(\Delta ABD\)và \(\Delta AEB\)có:
* \(\widehat{A}chung\)
* \(\widehat{ABD}=\widehat{BEA}\left(cmt\right)\)
=> \(\Delta ABD~\Delta AEB\left(g.g\right)\)=> \(\frac{AB}{AE}=\frac{AD}{AB}\Rightarrow AB^2=AD.AE\RightarrowĐpcm\)
c. Vì F là điểm đối xứng của D qua OA => OA là đường trung trực của DF (Đ/n đối xứng trục) => OD = OF = R (T/c điểm thuộc đường trung trực) => F \(\in\left(O\right)\)và \(\Delta ODF\)cân tại O (Đ/n) => OA vừa là đường trung trực của đoạn thẳng DF đồng thời là đường phân giác của \(\widehat{DOF}\)(T/c của \(\Delta\)cân)=> \(\widehat{DOA}=\widehat{FOA}=\frac{1}{2}\widehat{DOF}=\frac{1}{2}sđ\widebat{DF}\)
Xét đt (O) có: \(\widehat{DEF}=\frac{1}{2}sđ\widebat{DF}\)(T/c góc nội tiếp) => \(\widehat{DOA}=\widehat{DEF}\)(1)
Ta có: AB,AC lần lượt là 2 tiếp tuyến của đt (O) (B,C là 2 tiếp điểm) (gt) => OA là tia phân giác của \(\widehat{BOC}\)(Định lý về 2 tiếp tuyến cắt nhau)
Lại có: OB = OC = R => \(\Delta OBC\)cân tại O (Đ/n) => OA vừa là phân giác đồng thời là đường cao của \(\Delta OBC\)(T/c của \(\Delta\)cân)=> \(OA\perp BC\)tại H (H là giao điểm của OA và BC)
Áp dụng hệ thức lượng trong \(\Delta\)vuông ABO (vuông tại B) với đường cao BH ta được: \(AB^2=AH.AO\)
Mà \(AB^2=AD.AE\left(cmt\right)\)=> \(AD.AE=AH.AO\Leftrightarrow\frac{AD}{AO}=\frac{AH}{AE}\)
Xét \(\Delta AHD\)và \(\Delta AEO\)có:
* \(\widehat{A}\)chung
* \(\frac{AD}{AO}=\frac{AH}{AE}\left(cmt\right)\)
=> \(\Delta AHD~\Delta AEO\left(c.g.c\right)\)=> \(\widehat{AHD}=\widehat{AEO}=\widehat{DEO}\left(Do\overline{A,D,E}\Rightarrow\widehat{AEO}=\widehat{DEO}\right)\)=> Tứ giác DEOH là tứ giác nội tiếp (Dhnb) => \(\widehat{DEH}=\widehat{DOH}=\widehat{DOA}\)(2 góc nội tiếp cùng chắn \(\widebat{DH}\)) (Do A,H,O => \(\widehat{DOH}=\widehat{DOA}\)) (2)
Từ (1) và (2) => \(\widehat{DEF}=\widehat{DEH}\)=> 3 điểm E,F,H thẳng hàng ( 2 góc cùng số đo, có 1 cạnh chung, 2 cạnh còn lại của 2 góc cùng nằm về 1 phía so với cạnh chung thì 2 cạnh còn lại trùng nhau) => Đpcm.
a) Xét tứ giác ABOC có
\(\widehat{OBA}+\widehat{OCA}=180^0\left(90^0+90^0=180^0\right)\)
Do đó: ABOC là tứ giác nội tiếp(Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp)
Xét (O) có
AB là tiếp tuyến có B là tiếp điểm(gt)
AC là tiếp tuyến có C là tiếp điểm(gt)
Do đó: AB=AC(Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
Ta có: OB=OC(=R)
nên O nằm trên đường trung trực của BC(Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(1)
Ta có: AB=AC(cmt)
nên A nằm trên đường trung trực của BC(Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(2)
Từ (1) và (2) suy ra OA là đường trung trực của BC
hay OA\(\perp\)BC
Xét ΔOBC có OB=OC(=R)
nên ΔOBC cân tại O(Định nghĩa tam giác cân)
mà OH là đường cao ứng với cạnh BC
nên H là trung điểm của BC(Đpcm)
sao không có câu B bạn ơi ?? có câu c càng tốt nhưng không làm được thì bỏ qua . nhưng bạn giúp minh câu B với , thankkk
do I là trung điểm của MN
⇒I là trung trực của MN
⇒I⊥MN
⇒∠OIM=90⇔∠OIA=90
xét tứ giác ABIO có ∠OBA=∠OIA=90
⇒ABIO nội tiếp
⇒∠BIA=∠AOB (cùng chắn \(\stackrel\frown{AB}\)) (1)
xét tứ giác ACOI có ∠OIA=∠OCA=90
⇒ACOI nội tiếp
⇒∠AIC=∠AOC (cùng chắn \(\stackrel\frown{AC}\)) (2)
xét tứ giác ABOC nội tiếp đường tròn ; AB=AC
⇒∠AOB=∠AOC (chắn 2 cung = nhau) (3)
từ (1);(2);(3) ⇒∠BIA=∠AIC
⇒IA là tia phân giác ∠BIC