Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Làm biếng tính, hướng dẫn cách giải:
Giả sử cạnh hình vuông có độ dài x
Dễ dàng tính được (bằng cách qua N kẻ đường thẳng song song BC cắt 2 cạnh hình vuông tại 2 điểm P; Q và sử dụng Pitago):
\(MD=\sqrt{x^2+\left(\frac{x}{2}\right)^2}=\frac{x\sqrt{5}}{2}\)
\(ND=\sqrt{\left(\frac{3x}{4}\right)^2+\left(\frac{x}{4}\right)^2}=\frac{x\sqrt{10}}{4}\)
\(NM=\sqrt{\left(\frac{3x}{4}\right)^2+\left(\frac{x}{4}\right)^2}=\frac{x\sqrt{10}}{4}\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}ND=NM\\ND^2+NM^2=MD^2\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow MND\) vuông cân tại N
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{MN}.\overrightarrow{ND}=0\\MN=ND\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\) tọa độ D
\(\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{AM}=0\\AD=2AM\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\) tọa độ A
Viết được pt CD song song AM và đi qua D
Phương trình đường thẳng AM: \(ax+by-\dfrac{11}{2}a-\dfrac{1}{2}b=0\left(a^2+b^2\ne0\right)\)
Giả sử cạnh hình vuông có độ dài là \(a\)
\(AM^2=\dfrac{5}{4}a^2;AN^2=\dfrac{10}{9}a^2;MN^2=\dfrac{25}{36}a^2\)
Theo định lí cos: \(cosMAN=\dfrac{AM^2+AN^2-MN^2}{2.AM.AN}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{\left|2a-b\right|}{\sqrt{5\left(a^2+b^2\right)}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)
\(\Leftrightarrow\left(a-3b\right)\left(3a+b\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a=3b\\3a=-b\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}AM:3x+y-17=0\\AM:x-3y-4=0\end{matrix}\right.\)
TH1: \(AM:3x+y-17=0\Rightarrow A:\left\{{}\begin{matrix}3x+y-17=0\\2x-y-3=0\end{matrix}\right.\Rightarrow A=\left(4;5\right)\)
TH2: \(AM:x-3y-4=0\Rightarrow A:\left\{{}\begin{matrix}x-3y-4=0\\2x-y-3=0\end{matrix}\right.\Rightarrow A=\left(1;-1\right)\)
\(d\left(A\left(P\right)\right)=\frac{\left|2\left(-2\right)-2.1+1.5-1\right|}{\sqrt{2^2+\left(-2\right)^2+1^2}}=\frac{2}{3}\)
(P) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{n_p}=\left(2;-2;1\right);\)
d có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{u_d}=\left(2;3;1\right);\left[\overrightarrow{n_p},\overrightarrow{u_d}\right]=\left(-5;0;10\right)\)
Theo giả thiết suy ra (Q) nhận \(\overrightarrow{n}=-\frac{1}{5}\left[\overrightarrow{n_p},\overrightarrow{u_d}\right]=\left(1;0;-2\right)\) làm vectơ pháp tuyến
Suy ra \(\left(Q\right):x-2z+12=0\)
Đặt \(AB=a\), qua N kẻ đường thẳng song song BC cắt AB và CD lần lượt tại P và Q
Theo Talet: \(\Rightarrow\dfrac{NQ}{AD}=\dfrac{CQ}{CD}=\dfrac{CN}{AC}=\dfrac{1}{4}\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}NQ=\dfrac{a}{4}\Rightarrow NP=\dfrac{3a}{4}\\CQ=BP=\dfrac{a}{4}\Rightarrow DQ=AP=\dfrac{3a}{4}\\\end{matrix}\right.\)
Pitago tam giác ADM: \(DM^2=AM^2+AD^2=\dfrac{5a^2}{4}\)
Pitago tam giác MNP: \(MN^2=MP^2+PN^2=\dfrac{5a^2}{8}\)
Pitago tam giác DQN: \(DN^2=DQ^2+QN^2=\dfrac{5a^2}{8}\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}MN=DN\\MN^2+DN^2=DM^2\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\Delta DMN\) vuông cân tại N
Gọi I là trung điểm DM \(\Rightarrow IN\perp DM\)
Phương trình đường thẳng qua N và vuông góc DM có dạng:
\(0\left(x+\dfrac{3}{2}\right)+1\left(y-\dfrac{1}{2}\right)=0\Leftrightarrow y-\dfrac{1}{2}=0\)
Tọa độ I là nghiệm: \(\left\{{}\begin{matrix}x-1=0\\y-\dfrac{1}{2}=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow I\left(1;\dfrac{1}{2}\right)\)
\(\Rightarrow\overrightarrow{IN}=\left(-\dfrac{5}{2};0\right)\Rightarrow IN=\dfrac{5}{2}\)
\(\Rightarrow DI=IN=\dfrac{5}{2}\)
Do D thuộc x-1=0 nên tọa độ có dạng \(D\left(1;d\right)\) \(\Rightarrow\overrightarrow{ID}=\left(0;d-\dfrac{1}{2}\right)\)
\(\Rightarrow\left|d-\dfrac{1}{2}\right|=\dfrac{5}{2}\Rightarrow d=-2\)
\(\Rightarrow D\left(1;-2\right)\)
Từ đây dễ dàng xác định tọa độ các điểm còn lại.
Gọi K là giao điểm AC và DM, theo Talet:
\(\dfrac{AK}{CK}=\dfrac{KM}{DK}=\dfrac{AM}{DC}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}DK=\dfrac{2}{3}DM=\dfrac{4}{3}DI\\AK=\dfrac{1}{3}AC=\dfrac{4}{9}AN\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\overrightarrow{DK}=\dfrac{4}{3}\overrightarrow{DI}\Rightarrow\) tọa độ K
\(\overrightarrow{AK}=\dfrac{4}{9}\overrightarrow{AN}\Rightarrow\) tọa độ A
Tọa độ D, tọa độ I \(\Rightarrow\) tọa độ M \(\Rightarrow\) tọa độ B
\(\Rightarrow\) Tọa độ C
\(\overrightarrow{MN}=\left(1;-3\right)\Rightarrow MN=\sqrt{10}\)
Đặt \(AB=a\)
Qua N kẻ đường thẳng song song BC cắt AB và CD lần lượt tại P và Q, gọi F là trung điểm CD \(\Rightarrow MF\) song song và bằng BC
Theo Talet: \(\dfrac{PN}{BC}=\dfrac{AP}{AB}=\dfrac{AN}{AC}=\dfrac{3}{4}\Rightarrow PN=\dfrac{3a}{4}\) ; \(DQ=AP=\dfrac{3a}{4}\) ; \(MP=NQ=\dfrac{a}{4}\)
\(\Rightarrow MN^2=10=MP^2+PN^2=\dfrac{a^2}{16}+\dfrac{9a^2}{16}\Rightarrow a=4\)
\(\Rightarrow MF=4\) ; \(NQ=FQ=\dfrac{a}{4}\Rightarrow FN=\sqrt{NQ^2+FQ^2}=a\sqrt{2}\) ;
Đặt \(F\left(x;y\right)\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{MF}=\left(x-1;y-2\right)\\\overrightarrow{NF}=\left(x-2;y+1\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(x-1\right)^2+\left(y-2\right)^2=MF^2=16\\\left(x-2\right)^2+\left(y+1\right)^2=FN^2=2\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}F\left(1;-2\right)\\F\left(\dfrac{17}{5};-\dfrac{6}{5}\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}\overrightarrow{MF}=\left(0;-4\right)=-4\left(0;1\right)\\\overrightarrow{MF}=\left(\dfrac{12}{5};-\dfrac{16}{5}\right)=\dfrac{4}{5}\left(3;-4\right)\end{matrix}\right.\)
Phương trình CD:
\(\left[{}\begin{matrix}0\left(x-1\right)+1\left(y+2\right)=0\\3\left(x-\dfrac{17}{5}\right)-4\left(y+\dfrac{6}{5}\right)=0\end{matrix}\right.\)