Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Đường tròn \((C)\) tâm \(I(a;b)\) bán kính \(R\)có phương trình
\((x-a)^2+(y-b)^2=R^2.\)
\(∆MAB ⊥ M\) \(\rightarrow \) \(AB\) là đường kính suy ra \(∆\) qua \(I\) do đó:
\(a-b+1=0 (1)\)
Hạ \(MH⊥AB\) có \(MH=d(M, ∆)= \dfrac{|2-1+1|}{\sqrt{2}}={\sqrt{2}} \)
\(S_{ΔMAB}=\dfrac{1}{2}MH×AB \Leftrightarrow 2=\dfrac{1}{2}2R\sqrt{2} \)
\(\Rightarrow R = \sqrt{2} \)
Vì đường tròn qua\(M\) nên (\(2-a)^2+(1-b)^2=2 (2)\)
Ta có hệ :
\(\begin{cases} a-b+1=0\\ (2-a)^2+(1-b)^2=0 \end{cases} \)
Giải hệ \(PT\) ta được: \(a=1;b=2\).
\(\rightarrow \)Vậy \((C) \)có phương trình:\((x-1)^2+(y-2)^2=2\)
Lời giải:
1. Gọi đường thẳng cần tìm có dạng \((d):y=ax+b\)
Vì \(I(3;1)\in (d)\Rightarrow 1=3a+b\Rightarrow b=1-3a\Rightarrow y=ax+1-3a\)
Xét \((d)\cap Ox\equiv C\Rightarrow \left\{\begin{matrix} y_C=0\\ x_c=\frac{3a-1}{a}\end{matrix}\right.\)
Xét \((d)\cap Oy\equiv D\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x_D=0\\ y_D=1-3a\end{matrix}\right.\)
Mặt khác \(CE=DE\Rightarrow \left ( \frac{3a-1}{a}-2 \right )^2+4=4+(1-3a+2)^2\)
\(\Leftrightarrow a\in \left \{ \frac{-1}{3};\frac{1}{3};1 \right \}\) \(\Rightarrow \left[ \begin{array}{ll} y=\frac{x}{3} \\ y=\frac{-x}{3}+2 \\ y=x-2 \end{array} \right.\).
Vì $D\neq E$ nên \(\left[ \begin{array}{ll} y=\frac{-x}{3}+2 \\ y=x-2 \end{array} \right.\). Đây chính là hai phương trình đường thẳng cần tìm.
2) Gọi đường thẳng cần tìm có tên là $(d')$
Vì $(d')$ đối xứng với $(d)$ qua một điểm nên \((d)\parallel (d')\Rightarrow (d'): x-2y+t=0\)
Với $M$ là một điểm trên $(d)$, chọn $M(7;1)$. Khi đó $M'\in (d')$ phải đối xứng với $M$ qua $A$, tức là $A$ là trung điểm của $MM'$
\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} 2=x_A=\frac{x_M+x_{M'}}{2}=\frac{7+x_{M'}}{2}\\ 1=y_A=\frac{y_M+y_{M'}}{2}=\frac{1+y_{M'}}{2}\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x_{M'}=-3\\ y_{M'}=1\end{matrix}\right.\)
Vì $M'\in (d')$ nên \(-3-2+c=0\Rightarrow c=5\Rightarrow (d'):2x-y+5=0\)
(C) và (C') cùng đi qua AB nên tâm của (C') nằm trên trung trực AB
Tung độ A, B thỏa mãn:
\(y^2+4y+1=0\Rightarrow\dfrac{y_1+y_2}{2}=-2\)
\(\Rightarrow\) Tâm J của (C') có tọa độ dạng: \(\left(a;-2\right)\)
Gọi P là trung điểm MN \(\Rightarrow JP\perp MN\)
\(JP=\left|y_J\right|=2\Rightarrow R'=JM=\sqrt{MP^2+IP^2}=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}\)
Phương trình (C') có dạng: \(\left(x-a\right)^2+\left(y+2\right)^2=13\)
Thay tọa độ \(A\left(0;-2+\sqrt{3}\right)\) vào ta được:
\(a^2+\left(-2+\sqrt{3}+2\right)^2=13\Leftrightarrow a=\pm\sqrt{10}\)
Có 2 đường tròn thỏa mãn: \(\left[{}\begin{matrix}\left(x+\sqrt{10}\right)^2+\left(y+2\right)^2=13\\\left(x-\sqrt{10}\right)^2+\left(y+2\right)^2=13\end{matrix}\right.\)
Gọi G là trọng tâm tam giác \(\Rightarrow\) tọa độ G là nghiệm
\(\left\{{}\begin{matrix}x-2y+4=0\\2x+y-6=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow G\left(\frac{8}{5};\frac{14}{5}\right)\)
Gọi P là trung điểm BC, theo tính chất trọng tâm: \(\overrightarrow{AG}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AP}\Rightarrow P\left(\frac{7}{5};\frac{37}{10}\right)\)
Gọi \(M\left(a;-2a+6\right)\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_B=2x_M-x_A=2a-2\\y_B=2y_M-y_A=-4a+11\end{matrix}\right.\)
P là trung điểm BC \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_C=2x_P-x_B=\frac{24}{5}-2a\\y_C=2y_P-y_B=4a-\frac{18}{5}\end{matrix}\right.\)
N là trung điểm AC \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_N=\frac{x_A+x_C}{2}=\frac{17}{5}-a\\y_N=\frac{y_A+y_C}{2}=2a-\frac{13}{10}\end{matrix}\right.\)
Do N thuộc BN nên:
\(\frac{17}{5}-a-2\left(2a-\frac{13}{10}\right)+4=0\) \(\Rightarrow a=2\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}B\left(2;3\right)\\C\left(\frac{4}{5};\frac{22}{5}\right)\end{matrix}\right.\)
\(A\left(a;a+1\right);B\left(b;1-2b\right)\\ \Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x_P=a+b=4\\2y_P=a+1+1-2b=2\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=\frac{8}{3}\\b=\frac{4}{3}\end{matrix}\right.\\ \Rightarrow A\left(\frac{8}{3};\frac{11}{3}\right);B\left(\frac{4}{3};-\frac{5}{3}\right)\\ \Rightarrow\overrightarrow{AB}\left(-\frac{4}{3};-\frac{16}{3}\right)\Rightarrow\overrightarrow{n}_{AB}\left(4;-1\right)\Rightarrow pt\text{ }AB:4x-y-7=0\)