Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có : \(\left(x+\sqrt{x^2+2017}\right)\left(-x+\sqrt{x^2+2017}\right)=2017\left(1\right)\)
\(\left(y+\sqrt{y^2+2017}\right)\left(-y+\sqrt{y^2+2017}\right)=2017\left(2\right)\)
nhân theo vế của ( 1 ) ; ( 2 ) , ta có :
\(2017\left(-x+\sqrt{x^2+2017}\right)\left(-y+\sqrt{y^2+2017}\right)=2017^2\)
\(\Rightarrow\left(-x+\sqrt{x^2+2017}\right)\left(-y+\sqrt{y^2+2017}\right)=2017\)
rồi bạn nhân ra , kết hợp với việc nhân biểu thức ở phần trên xong cộng từng vế , cuối cùng ta đc :
\(xy+\sqrt{\left(x^2+2017\right)\left(y^2+2017\right)}=2017\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(x^2+2017\right)\left(y^2+2017\right)}=2017-xy\)
\(\Leftrightarrow x^2y^2+2017\left(x^2+y^2\right)+2017^2=2017^2-2\cdot2017xy+x^2y^2\)
\(\Rightarrow x^2+y^2=-2xy\Rightarrow\left(x+y\right)^2=0\Rightarrow x=-y\)
A = 2017
( phần trên mk lười nên không nhân ra, bạn giúp mk nhân ra nha :) )
2/ \(\frac{\sqrt{x-2011}-1}{x-2011}+\frac{\sqrt{y-2012}-1}{y-2012}+\frac{\sqrt{z-2013}-1}{z-2013}=\frac{3}{4}\)
\(\Leftrightarrow\frac{4\sqrt{x-2011}-4}{x-2011}+\frac{4\sqrt{y-2012}-4}{y-2012}+\frac{4\sqrt{z-2013}-4}{z-2013}=3\)
\(\Leftrightarrow\left(1-\frac{4\sqrt{x-2011}-4}{x-2011}\right)+\left(1-\frac{4\sqrt{y-2012}-4}{y-2012}\right)+\left(1-\frac{4\sqrt{z-2013}-4}{z-2013}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{x-2011-4\sqrt{x-2011}+4}{x-2011}\right)+\left(\frac{y-2012-4\sqrt{y-2012}+4}{y-2012}\right)+\left(\frac{z-2013-4\sqrt{z-2013}+4}{z-2013}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(\sqrt{x-2011}-2\right)^2}{x-2011}+\frac{\left(\sqrt{y-2012}-2\right)^2}{y-2012}+\frac{\left(\sqrt{z-2013}-2\right)^2}{z-2013}=0\)
Dấu = xảy ra khi \(\sqrt{x-2011}=2;\sqrt{y-2012}=2;\sqrt{z-2013}=2\)
\(\Leftrightarrow x=2015;y=2016;z=2017\)
TA THẤY\(X+\sqrt{X}\)>=0VỚI MỌI X LỚN HƠN 0 X KHÁC 1
=> \(X+\sqrt{X}+1\) >=1 VỚI MỌI X LỚN HƠN 0 X KHÁC 1
=> \(\frac{2}{X+\sqrt{X}+1}\)<=2 VỚI MỌI X LỚN HƠN 0 X KHÁC 1
HAY A<=2 (1)
\(X+\sqrt{X}+1\)>0 VỚI MỌI X LỚN HƠN 0 X KHÁC 1 VÀ 2>0
=> \(\frac{2}{X+\sqrt{X}+1}\)>0
HAY A<0(2)
TỪ (1) VÀ (2) => 0<A<=2
TA THẤY\(X+\sqrt{X}\)>=0VỚI MỌI X LỚN HƠN 0 X KHÁC 1
=> \(X+\sqrt{X}+1\) >=1 VỚI MỌI X LỚN HƠN 0 X KHÁC 1
=> \(\frac{2}{X+\sqrt{X}+1}\)<=2 VỚI MỌI X LỚN HƠN 0 X KHÁC 1
HAY A<=2 (1)
\(X+\sqrt{X}+1\)>0 VỚI MỌI X LỚN HƠN 0 X KHÁC 1 VÀ 2>0
=> \(\frac{2}{X+\sqrt{X}+1}\)>0
HAY A<0(2)
TỪ (1) VÀ (2) => 0<A<=2
\(\frac{1}{\left(n+1\right)\sqrt{n}}=\frac{\sqrt{n}}{n\left(n+1\right)}=\sqrt{n}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)=\sqrt{n}\left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)\left(\frac{1}{\sqrt{n}}+\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)\)
\(< \sqrt{n}\left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)\left(\frac{1}{\sqrt{n}}+\frac{1}{\sqrt{n}}\right)=2\left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)\)
\(\Rightarrow N< 2\left(\frac{1}{1}-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{2011}}-\frac{1}{\sqrt{2012}}\right)\)
\(\Rightarrow N< 2\left(1-\frac{1}{\sqrt{2012}}\right)< 2\)
\(A=\sqrt{x^2-2x+1}+\sqrt{x^2+4x+4}\)
\(=\sqrt{\left(x-1\right)^2}+\sqrt{\left(x+2\right)^2}\)
\(=|1-x|+|x+2|\ge|1-x+x+2|=3\)
\(x\sqrt{x+\frac{1}{2}+\sqrt{x+\frac{1}{4}}}=2\)
\(\Leftrightarrow x\sqrt{\left(\sqrt{x+\frac{1}{4}}+\frac{1}{2}\right)^2}=2\)
\(\Leftrightarrow x\sqrt{x+\frac{1}{4}}+\frac{1}{2}=2\)
\(\Leftrightarrow x\sqrt{x+\frac{1}{4}}=\frac{3}{2}\)
Làm nốt
Đặt B là tên biểu thức
Với mọi n thuộc N*, ta có:
\(\frac{1}{\left(n+1\right)\sqrt{n}}=\frac{\sqrt{n}}{n\left(n+1\right)}=\sqrt{n}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)=\sqrt{n}\left(\frac{1}{\sqrt{n}}+\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)\left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)\)
\(=\left(1+\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}}\right)\left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)< 2\left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)\) (*)
Áp dụng (*), ta được:
\(B< 2\left(1-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}}-\frac{1}{\sqrt{4}}+...+\frac{1}{\sqrt{2011}}-\frac{1}{\sqrt{2012}}+\frac{1}{\sqrt{2012}}-\frac{1}{\sqrt{2013}}\right)\)
\(=2\left(1-\frac{1}{\sqrt{2013}}\right)=2-\frac{1}{\sqrt{2013}}< 2\)
\(\frac{x^2+x+1}{x^2-x+1}=\frac{3\left(x^2+x+1\right)}{3\left(x^2-x+1\right)}=\frac{\left(x^2-x+1\right)+2\left(x^2+2x+1\right)}{3\left(x^2-x+1\right)}=\frac{2\left(x+1\right)^2}{3\left(x^2-x+1\right)}+\frac{1}{3}\ge\frac{1}{3}\)(1)
\(\frac{x^2+x+1}{x^2-x+1}=\frac{3\left(x^2-x+1\right)-2\left(x^2-2x+1\right)}{x^2-x+1}=-\frac{2\left(x-1\right)^2}{x^2-x+1}+3\le3\)(2)
Từ (1) và (2) suy ra đpcm
Mình cảm ơn