Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Bạn ơi, nếu như vậy thì thầy mình sẽ bắt mình chứng minh là chỉ có 2 số 3 với 5 là 2 số có dạng \(2^n-1\) với \(2^n+1\) đó bạn. Nếu bạn không phiền thì chứng minh giúp mình với nhé. Mình cảm ơn bạn trước.
Lời giải:
Giả sử $n$ có ước nguyên tố khác 2. Gọi ước đó là $p$ với $p$ lẻ.
Khi đó: $n=pt$ với $t$ nguyên dương bất kỳ.
$a^n+1=(a^t)^p+1\vdots a^t+1$
Mà $a^t+1\geq 3$ với mọi $a\geq 2; t\geq 1$ và $a^n+1> a^t+1$ nên $a^n+1$ là hợp số. Điều này vô lý theo giả thiết.
Vậy điều giả sử là sai, tức là $n$ không có ước nguyên tố lẻ nào cả. Vậy $n=2^k$ với $k\in\mathbb{N}$
Lấy $a=2; n=4$ ta có $a^n+1=17$ là snt. Vậy $n=2^k$ với $k$ nguyên dương.
vì \(2^n-1\) là số nguyên tố nên tổng các ước của \(2^n-1\) là \(1+2^n-1\)
tổng các ước của \(2^{n-1}\left(2^n-1\right)\) là \(\displaystyle\Sigma ^{n-1}_{i=0}(2^i)\times (1+2^n-1)\)\(=\left(2^n-1\right)\times2^n=2\left[2^{n-1}\left(2^n-1\right)\right]\)
Vậy số đã cho là số hoàn hảo
\(\left(x+2\right)^n=C^0_n\cdot x^n+C^1_n\cdot x^{n-1}\cdot2+...+C^n_n\cdot2^n\)(1)
Tổng các hệ số trong khai triển (1) là;
(1+2)^n=3^n
=>3^n=243
=>n=5
khi đó ta được:x3-y3=37 <=>(x-y)(x2+xy+y2)=37.
ta thấy 0<x-y,x2+xy+y2, nên ta có:\(\begin{cases}x-y=1\left(1\right)\\x^2+xy+y^2=37\left(2\right)\end{cases}\) Thay x=y+1 từ (1) vào (2) ta được y2-y-12=0, từ đó y=3 và n=38vậy n=38 là giá trị cần tìm