![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
- Với \(y=0\Rightarrow x^2+x=3^0+1=2\)
\(\Rightarrow x^2+x-2=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=-2\end{matrix}\right.\)
- Với \(y< 0\Rightarrow3^{2019y}\) không phải số nguyên \(\Rightarrow3^{2019y}+1\) không phải số nguyên (loại)
- Với \(y>0\Rightarrow3^{2019y}⋮3\Rightarrow3^{2019y}+1\) chia 3 dư 1
Mà \(x^2+x=x\left(x+1\right)\) là tích 2 số nguyên liên tiếp nên chia 3 chỉ có thể dư 0 hoặc 2
\(\Rightarrow x^2+x\ne3^{2019y}+1\) với mọi \(y>0\) \(\Rightarrow\) phương trình ko có nghiệm nguyên
Vậy pt đã cho có đúng 2 cặp nghiệm nguyên là \(\left(x;y\right)=\left(-2;0\right);\left(1;0\right)\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Vì 12p ⋮ 3 nên x²-3xy+p²y² ⋮ 3 mà -3xy ⋮ 3 nên x²+p²y² ⋮ 3 kết hợp với tính chất 1 số chính phương chỉ chia 3 dư 0 hoặc 1 nên nếu tổng 2 chính phương ⋮ 3 thì cả 2 số⋮ 3. Từ đó x² và p²y² mà đây là 2 bình phương và 3 là số nguyên tố nên x² và p²y² ⋮ 9. Vì x2⋮ 9 nên x ⋮ 3 từ đó 3xy ⋮cho 9. Qua đó x²-3xy+p²y² ⋮ 9. Ta có 12p= 4.3p mà (4,9)=1 nên 3p ⋮ 9 từ đó p ⋮ 3 mà p là số nguyên tố nên p = 3.
=> x²-3xy+p²y² =12p <=> x²-3xy+9y² =36 áp dụng bất đẳng thức Cô si x2+y2 ≥ 2xy với mọi x,y => x²+9y²≥2.x.3y=6xy => 36≥6xy-3xy=3xy =>12≥xy mà x,y là số nguyên dương nên x.y ≥1 nên 12≥xy≥x.1=x
Ta có x²+(-3xy)+9y² chẵn mà đây là tổng 3 số nguyên nên tồn tại 1 số chẵn
nếu x chẵn => x²+(-3xy) chẵn => 9y² chẵn mà (9,2)=1 nên y chẵn ta cmtt với y. Từ đó suy ra cả x và y đều chẵn, kết hợp với 12≥x,x⋮3 và x nguyên dương => x∈{6,12} thay x vào x²-3xy+9y² =36 ta tìm được các cặp (x,y) là (6,0);(6,2);(12,6)
Vậy các cặp (x,y,p) cần tìm là (6,0,3);(6,2,3);(12,6,3)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
\(8\left|x-2017\right|=25-y^{2\text{}}\)
\(\Leftrightarrow8\left|x-2017\right|+y^2=25=25+0=24+1=21+4=16+9\)
Mà \(8\left|x-2017\right|\) chẵn nên ta có các trường hợp sau:
TH1: \(\left\{{}\begin{matrix}8\left|x-2017\right|=0\\y^2=25\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=2017\\y=\pm5\end{matrix}\right.\)
TH2: \(\left\{{}\begin{matrix}8\left|x-2017\right|=24\\y^2=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left[{}\begin{matrix}x=2020\\x=2014\end{matrix}\right.\\y=\pm5\end{matrix}\right.\)
TH3: \(\left\{{}\begin{matrix}8\left|x-2017\right|=16\\y^2=9\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left[{}\begin{matrix}x=2019\\x=2015\end{matrix}\right.\\y=\pm3\end{matrix}\right.\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
\(x^2-3xy+2=y\)
\(\Rightarrow x^2+2=y\left(3x+1\right)\left(1\right)\)
\(\Rightarrow\left(x^2+2\right)⋮\left(3x+1\right)\)
\(\Rightarrow\left(9x^2+18\right)⋮\left(3x+1\right)\)
\(\Rightarrow\left[\left(9x^2-1\right)+19\right]⋮\left(3x+1\right)\)
Ta có \(9x^2-1=\left(3x+1\right)\left(3x-1\right)⋮\left(3x+1\right)\)
\(\Rightarrow19⋮\left(3x+1\right)\) nên \(3x+1\inƯ\left(19\right)\)
Lập bảng:
3x+1 | 19 | 1 | -19 | -1 |
x | 6 | 0 | \(\dfrac{-20}{3}\left(l\right)\) | \(\dfrac{-2}{3}\left(l\right)\) |
Với \(x=6\). (1) \(\Rightarrow y=\dfrac{x^2+2}{3x+1}=\dfrac{6^2+2}{3.6+1}=2\)
Với \(x=0\). (1) \(\Rightarrow y=\dfrac{x^2+2}{3x+1}=\dfrac{0^2+2}{3.0+1}=2\)
Vậy các cặp số (x;y) thỏa điều kiện ở đề bài là \(\left(6;2\right),\left(0;2\right)\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Để \(\dfrac{2}{x}\) là số nguyên thì \(x\in\left\{-1;1;-2;2\right\}\)
Mà x>0 nên \(x\in\left\{1,2\right\}\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Theo đề bài, ta có: \(x+2xy-y=4\)
\(\Rightarrow x\left(1+2y\right)-y=4\)
\(\Rightarrow2x\left(2y+1\right)-2y=8\)
\(\Rightarrow2x\left(2y+1\right)-\left(2y+1\right)=7\)
\(\Rightarrow\left(2y+1\right)\left(2x-1\right)=7\)
Vì \(x,y\in Z\Rightarrow2x-1;2y+1\inƯ\left(7\right)=\left\{\mp1;\mp7\right\}\)
Ta có bảng sau:
2x-1 | 1 | -1 | 7 | -7 |
2y+1 | 7 | -7 | 1 | -1 |
x | 1 | 0 | 4 | -3 |
y | 3 | -4 | 0 | -1 |
Vậy \(\left(x;y\right)\in\left\{\left(1;3\right),\left(0;-4\right),\left(4;0\right),\left(-3;-1\right)\right\}\)
\(x+2xy-y=4\)
\(\Rightarrow2x+2xy-2y=4\)
\(\Rightarrow2x+2y\left(x-1\right)=4\)
\(\Rightarrow2\left[x+y\left(x-1\right)\right]=4\)
\(\Rightarrow x+y\left(x-1\right)=2\)
\(\Rightarrow\left(x-1\right)+y\left(x-1\right)=1\)
\(\Rightarrow\left(x-1\right).\left(1+y\right)=1\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
\(x\in\left\{-12;-11;-10;...;14\right\}\)