Câu hỏi của Trương Thanh Nhân

Question

Tìm tất cả các hàm số $f:N\rightarrow N$sao cho$f\left(x-1\right)+f\left(x+1\right)=2.f\left(x\right)$

Tran Le Khanh Linh · Accepted Answer

dùng thủ thuật giống một bài toán lớp 3Cho m=n=0 ta được $f\left(0\right)=2f^2\left(0\right)\Rightarrow f\left(0\right)=0$Cho m=1; n=0 ta được $\orbr{\begin{cases}f\left(1\right)=0\f\left(1\right)=1\end{cases}}$. Ta xét trường hợp f(1)=1, với f(1)=0 ta xét tương tự, với f(1)=1 ta lần lượt tính được$\hept{\begin{cases}f\left(2\right)=f\left(1^2+1^2\right)=f^2\left(1\right)+f^2\left(1\right)=2\f\left(4\right)=f\left(2^2+0^2\right)=f^2\left(2\right)+f^2\left(0\right)=4\f\left(5\right)=f\left(2^2+1^2\right)=f^2\left(2\right)+f^2\left(1\right)=5\end{cases}}$áp dụng thủ thuật của một bài toán lớp 3. Ta không tính trực tiếp f(3) nhưng ta lại có $f^2\left(5\right)=f\left(25\right)=f\left(3^2+4^2\right)=f^2\left(4\right)+f^2\left(3\right)$từ đó ta tính được f(3)=3Tương tự như vậy ta có thể tính được f(6) nhờ vào đẳng thức 62+82=102 trong đó $f\left(8\right)=f\left(2^2+2^2\right)=2f^2\left(2\right)=8;f\left(10\right)=f\left(3^2+1^2\right)=f^2\left(3\right)+f^2\left(1\right)=10$Tiếp tục để tính f(7) ta để ý 72+12=50 =52+52, từ đó f(7)=7. Cũng như thế do đó 112+22=102+52 nên suy ra f(11)=11Cách làm này có thể tổng quát hóa như thế nào? Ý tưởng là $m^2+n^2=p^2+q^2\left(1\right)$thì $f^2\left(m\right)+f^2\left(n\right)=f^2\left(q\right)+f^2\left(p\right)$do đó nếu tính được $f\left(n\right);f\left(q\right);f\left(p\right)$thì f(m) cũng sẽ tính đượcLàm thế nào để có những đẳng thức dạng (1) dưới dạng tổng quát, cho phép ta chứng minh f(n)=n với mọi n bằng quy nạp? Chú ý rằng (1) có thể viết lại thành (m-p)(m+p)=(q-n)(q+n)=N. Do đó nếu chọn 2 số N có 2 cách phân tích thành tích của những số cùng tính chẵn hoặc lẻ, ta sẽ tìm được nghiệm cho (1). Chọn N=8k=4k.2=4.2k và N=16k=4k.4=2k.8 ta được hệ $\hept{\begin{cases}m-p=2;m+p=4k;q-n=4;q+n=2k\m-p=4;m+p=4k;q-n=8;q+n=2k\end{cases}}$Từ đó được các hằng đẳng thức tương ứng$\hept{\begin{cases}\left(2k+1\right)^2+\left(k-2\right)^2=\left(2k-1\right)^2+\left(k+2\right)^2\\left(2k+2\right)^2+\left(k-4\right)^2=\left(2k-2\right)^2+\left(k+4\right)^2\end{cases}}$Từ hai đẳng thức này với chú ý f(n)=n với n=1;2;3;4;5;6 ta dễ dàng chứng minh quy nạp được rằng f(n)=n với mọi n thuộc NTrường hợp f(1)=0 cũng bằng cách lý luận trên ta nêu ra f(n)=0 với mọi n thuộc NCâu trả lời: dùng thủ thuật giống một bài toán lớp 3Cho m=n=0 ta được $f\left(0\right)=2f^2\left(0\right)\Rightarrow f\left(0\right)=0$Cho m=1; n=0 ta được $\orbr{\begin{cases}f\left(1\right)=0\f\left(1\right)=1\end{cases}}$. Ta xét trường hợp f(1)=1, với f(1)=0 ta xét tương tự, với f(1)=1 ta lần lượt tính được$\hept{\begin{cases}f\left(2\right)=f\left(1^2+1^2\right)=f^2\left(1\right)+f^2\left(1\right)=2\f\left(4\right)=f\left(2^2+0^2\right)=f^2\left(2\right)+f^2\left(0\right)=4\f\left(5\right)=f\left(2^2+1^2\right)=f^2\left(2\right)+f^2\left(1\right)=5\end{cases}}$áp dụng thủ thuật của một bài toán lớp 3. Ta không tính trực tiếp f(3) nhưng ta lại có $f^2\left(5\right)=f\left(25\right)=f\left(3^2+4^2\right)=f^2\left(4\right)+f^2\left(3\right)$từ đó ta tính được f(3)=3Tương tự như vậy ta có thể tính được f(6) nhờ vào đẳng thức 62+82=102 trong đó $f\left(8\right)=f\left(2^2+2^2\right)=2f^2\left(2\right)=8;f\left(10\right)=f\left(3^2+1^2\right)=f^2\left(3\right)+f^2\left(1\right)=10$Tiếp tục để tính f(7) ta để ý 72+12=50 =52+52, từ đó f(7)=7. Cũng như thế do đó 112+22=102+52 nên suy ra f(11)=11Cách làm này có thể tổng quát hóa như thế nào? Ý tưởng là $m^2+n^2=p^2+q^2\left(1\right)$thì $f^2\left(m\right)+f^2\left(n\right)=f^2\left(q\right)+f^2\left(p\right)$do đó nếu tính được $f\left(n\right);f\left(q\right);f\left(p\right)$thì f(m) cũng sẽ tính đượcLàm thế nào để có những đẳng thức dạng (1) dưới dạng tổng quát, cho phép ta chứng minh f(n)=n với mọi n bằng quy nạp? Chú ý rằng (1) có thể viết lại thành (m-p)(m+p)=(q-n)(q+n)=N. Do đó nếu chọn 2 số N có 2 cách phân tích thành tích của những số cùng tính chẵn hoặc lẻ, ta sẽ tìm được nghiệm cho (1). Chọn N=8k=4k.2=4.2k và N=16k=4k.4=2k.8 ta được hệ $\hept{\begin{cases}m-p=2;m+p=4k;q-n=4;q+n=2k\m-p=4;m+p=4k;q-n=8;q+n=2k\end{cases}}$Từ đó được các hằng đẳng thức tương ứng$\hept{\begin{cases}\left(2k+1\right)^2+\left(k-2\right)^2=\left(2k-1\right)^2+\left(k+2\right)^2\\left(2k+2\right)^2+\left(k-4\right)^2=\left(2k-2\right)^2+\left(k+4\right)^2\end{cases}}$Từ hai đẳng thức này với chú ý f(n)=n với n=1;2;3;4;5;6 ta dễ dàng chứng minh quy nạp được rằng f(n)=n với mọi n thuộc NTrường hợp f(1)=0 cũng bằng cách lý luận trên ta nêu ra f(n)=0 với mọi n thuộc N

Chúng tôi đề xuất

Tài nguyên

Ứng dụng mobile

Bảng xếp hạng

Các khóa học có thể bạn quan tâm

Yêu cầu VIP