Question

[Feliks Zemdegs]

Tìm số tự nhiên n lớn nhất để tích các số tự nhiên từ 1 đến 1000 chia hết cho 5ⁿ.

Answer 1

[Trần Thị Loan]

Để n lớn nhất thì n chính là số các thừa số 5 xuất hiện trong tích các số từ 1 đến 1000

Xét 5ⁿ < 1000 . ta có: 5⁴ = 625 < 1000 < 5⁵

- Tìm các số chia hết cho 5 từ 1 đến 1000 gồm: 5; 10; 15;....;1000 

=> có (1000 - 5) : 5 + 1 = 200 số

- tìm các số chia hết cho 25 (Vì 25 = 5.5) gồm: 25; 50; ...; 1000 

=> có: (1000 - 25) : 25 + 1 = 40 số

- Tìm các số chia hết cho 125 (125 = 5.5.5) gồm: 125; 250;...; 1000

=> có : (1000 - 125): 125 + 1 = 8 số

- Tìm các số chia hết cho 625 (625 = 5.5.5.5) gồm: 625 => có 1 số

Vì những số chia hết cho 625 sẽ chia hết cho 125 ; 125; 25; 5 nên trong cách tính trên có đếm trùng

Vậy có     1 số chia hết cho 625; => có 4 số 5 trong tích

                 7 số chia hết cho 125 => có 7.3 = 21 số 5 trong tích

               32 số chia hết cho 25 => có 32 x 2 = 64 số 5 trong tích

          200 - 40 = 160 số chỉ chia hết cho 5 => có 160.1 = 160 số 5 trong tích

Vậy có tất cả: 4 + 21 + 64 + 160 = 249 thừa số 5 trong tích

Vậy n lớn nhất = 249

Answer 2

[Thanh Tùng DZ]

Cách khác :

Kể từ 1, cứ 5 số lại có một bội của 5, cứ 5² lại có một bội của 25, cứ 5³ lại có một bội của 125,... Do đó , số thừa số 5 khi phân tích

: 1 . 2 . 3 . ... . 1000 ra thừa số nguyên tố bằng :

\(\frac{1000}{5}+\frac{1000}{5^2}+\frac{1000}{5^3}+\left[\frac{1000}{5^4}\right]=200+40+8+1=249\)