Question

[Nguyễn Tùng Chi]

Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết :

   ab = (a+b) ²

Answer 1

[Xyz OLM]

Ta có \(\overline{ab}=(a+b)^2\)

<=> 10a + b = (a + b)² 

<=> (a + b) + 9a = (a + b)²

<=>  9a = (a + b)² - (a + b)

<=> 36a = 4(a + b)² - 4(a + b) 

<=> 36a + 1 = 4(a + b)² - 4(a + b) + 1 

<=> 36a + 1 = [4(a + b)² - 2(a + b)] - [2(a + b) -  1]

<=> 36a + 1 = 2(a + b).[2(a + b) - 1] - [2(a + b) - 1]

<=> 36a + 1 = [2(a + b) - 1]² 

<=> 36a + 1 = (2a + 2b - 1)² (1)

Với \(a\inℕ^∗;a< 10\) ta thử các giá trị của a để 36a + 1 là số chính phương

Ta nhận thấy 36.8 + 1 = 289 là số chính phương

=> a = 8 là giá trị cần tìm 

Thay a = 8 vào (1) ta được

36.8 + 1 = (2.8 + 2b - 1 1)²

<=> 289 = (15 + 2b)² 

<=> 17² = (15 + 2b)²

<=> 17 = 15 + 2b

<=> b = 1

Vậy số cần tìm là 81