Question

[I lay my love on you]

Tìm số nguyên n để:

n+1945 và n+2004 đều là số chính phương

Answer 1

[BestMurad]

Đặt n + 1945 = a² (1) (a là số tự nhiên) 
Đặt n + 2004 = b² (2) (b là số tự nhiên) 
Do (n + 2004) > (n + 1945) 
=> b² > a² 
=> b > a (Do a và b là số tự nhiên) 
Từ (1) và (2) => b² - a² = (n + 2004) - (n + 1945) 
<=> (b + a)(b - a) = n + 2004 - n - 1945 
<=> (b + a)(b - a) = 59 
=> (b + a) và (b - a) là ước tự nhiên của 59 
Ta có ước tự nhiên của 59 là các số: 1;59 (59 là số nguyên tố) Kết hợp với (b + a) > (b - a) (do a và b là số tự nhiên) ta có: 
b + a = 59 (3) và b - a = 1 (4) 
cộng vế với vế của (3) và (4) ta được: 
(b + a) + (b - a) = 59 + 1 
<=> b + a + b - a = 60 
<=> 2b = 60 
<=> b = 30 
Thay b = 30 vào (2) ta được 
n + 2004 = 30²
<=> n + 2004 = 900 
<=> n = 900 - 2004 
<=> n = -1104 
Vậy với n = -1104 thì n+ 1945 và n + 2004 đều chính phương

Answer 2

[Bùi Tiến Vỹ]

Đặt n + 1945 = a² (1) (a là số tự nhiên) 
Đặt n + 2004 = b² (2) (b là số tự nhiên) 
Do (n + 2004) > (n + 1945) 
=> b² > a² 
=> b > a (Do a và b là số tự nhiên) 
Từ (1) và (2) => b² - a² = (n + 2004) - (n + 1945) 
<=> (b + a)(b - a) = n + 2004 - n - 1945 
<=> (b + a)(b - a) = 59 
=> (b + a) và (b - a) là ước tự nhiên của 59 
Ta có ước tự nhiên của 59 là các số: 1;59 (59 là số nguyên tố) Kết hợp với (b + a) > (b - a) (do a và b là số tự nhiên) ta có: 
b + a = 59 (3) và b - a = 1 (4) 
cộng vế với vế của (3) và (4) ta được: 
(b + a) + (b - a) = 59 + 1 
<=> b + a + b - a = 60 
<=> 2b = 60 
<=> b = 30 
Thay b = 30 vào (2) ta được 
n + 2004 = 30²
<=> n + 2004 = 900 
<=> n = 900 - 2004 
<=> n = -1104 
Vậy với n = -1104 thì n+ 1945 và n + 2004 đều chính phương

hc tốt