Câu hỏi của Trần Thùy

Question

tìm số nguyên dương n sao cho $n^5+1$chia hết cho $n^3+1$

Hoàng Thanh Tuấn · Accepted Answer

Xét :$\frac{n^5+1}{n^3+1}=\frac{n^5+n^2-n^2+1}{n^3+1}=\frac{n^2\left(n^3+1\right)-\left(n^2-1\right)}{\left(n^3+1\right)}$$=n^2-\frac{\left(n^2-1\right)}{\left(n^3+1\right)}$để $n^5+1$chia hết $n^3+1$thì $n^2-1$cũng phải chia hết $n^3+1$vì bậc của tử nhỏ hơn bậc mẫu nên chỉ có thể sảy ra hai trường hợp với n nguyên dương :$n^2-1=n^3+1$hoặc $n^2-1=0$TH1 : $n^2-1=0\Leftrightarrow n^2=1\Leftrightarrow n=1$TH2 :$n^2-1=n^3+1\Leftrightarrow n^3-n^2+2=0$$\Leftrightarrow\left(n+1\right)\left(n^2-2n+2\right)=0$vì n nguyên dương $\Rightarrow n^2-2n+2=0\Leftrightarrow\left(n-1\right)^2+1=0\left(VN\right)$Vì $\left(n-1\right)^2+1\ge1\forall n$Vậy $n=1$Câu trả lời: Xét :$\frac{n^5+1}{n^3+1}=\frac{n^5+n^2-n^2+1}{n^3+1}=\frac{n^2\left(n^3+1\right)-\left(n^2-1\right)}{\left(n^3+1\right)}$$=n^2-\frac{\left(n^2-1\right)}{\left(n^3+1\right)}$để $n^5+1$chia hết $n^3+1$thì $n^2-1$cũng phải chia hết $n^3+1$vì bậc của tử nhỏ hơn bậc mẫu nên chỉ có thể sảy ra hai trường hợp với n nguyên dương :$n^2-1=n^3+1$hoặc $n^2-1=0$TH1 : $n^2-1=0\Leftrightarrow n^2=1\Leftrightarrow n=1$TH2 :$n^2-1=n^3+1\Leftrightarrow n^3-n^2+2=0$$\Leftrightarrow\left(n+1\right)\left(n^2-2n+2\right)=0$vì n nguyên dương $\Rightarrow n^2-2n+2=0\Leftrightarrow\left(n-1\right)^2+1=0\left(VN\right)$Vì $\left(n-1\right)^2+1\ge1\forall n$Vậy $n=1$

Chúng tôi đề xuất

Tài nguyên

Ứng dụng mobile

Bảng xếp hạng

Các khóa học có thể bạn quan tâm

Yêu cầu VIP