Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\left(m^2-1\right)x-8m+9-m^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(m^2-8m-1\right)x\ge m^2-9\)
- Với \(m=4+\sqrt{17}\) ko thỏa mãn
- Với \(m=4-\sqrt{17}\) thỏa mãn
- Với \(m\ne4\pm\sqrt{17}\)
Pt nghiệm đúng với mọi \(x\ge0\) khi và chỉ khi:
\(\left\{{}\begin{matrix}m^2-8m-1>0\\\dfrac{m^2-9}{m^2-8m-1}\le0\\\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m^2-8m-1>0\\m^2-9\le0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow-3\le m< 4-\sqrt{17}\)
Vậy \(-3\le m\le4-\sqrt{17}\)
- Với \(m=\pm1\) không thỏa mãn
- Với \(m\ne\pm1\) ta có:
\(\Delta'=16m^2-\left(m^2-1\right)\left(9-m^2\right)=\left(m^2+3\right)^2>0\) ; \(\forall m\)
\(\Rightarrow\) BPT đã cho đúng với mọi \(x\ge0\) khi và chỉ khi: \(\left\{{}\begin{matrix}m^2-1>0\\x_1< x_2\le0\end{matrix}\right.\) (pt hệ số a dương đồng thời có 2 nghiệm ko dương)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=m^2-1>0\\x_1+x_2=\dfrac{8m}{m^2-1}< 0\\x_1x_2=\dfrac{9-m^2}{m^2-1}\ge0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow-3\le m< -1\)
(Nếu \(\Delta\) không luôn dương với mọi m, ví dụ dạng \(\Delta=m^2-3m+2\) chẳng hạn thì còn 1 TH thỏa mãn nữa là \(\left\{{}\begin{matrix}a>0\\\Delta\le0\end{matrix}\right.\))
- Với \(m=\dfrac{1}{2}\) ko thỏa mãn
- Với \(m\ne\dfrac{1}{2}\)
\(\Leftrightarrow\left(2m-1\right)x^3-\left(2m-1\right)x^2-\left(m-2\right)x^2+\left(m-4\right)x+2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(2m-1\right)x^2\left(x-1\right)-\left(x-1\right)\left[\left(m-2\right)x+2\right]\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left[\left(2m-1\right)x^2-\left(m-2\right)x-2\right]\ge0\) (1)
Do (1) luôn chứa 1 nghiệm \(x=1\in\left(0;+\infty\right)\) nên để bài toán thỏa mãn thì cần 2 điều sau đồng thời xảy ra:
+/ \(2m-1>0\Rightarrow m>\dfrac{1}{2}\)
+/ \(\left(2m-1\right)x^2-\left(m-2\right)x-2=0\) có 2 nghiệm trong đó \(x_1\le0\) và \(x_2=1\)
Thay \(x=1\) vào ta được:
\(\left(2m-1\right)-\left(m-2\right)-2=0\Leftrightarrow m=1\)
Khi đó: \(x^2+x-2=0\) có 2 nghiệm \(\left[{}\begin{matrix}x_1=-2< 0\left(thỏa\right)\\x_2=1\end{matrix}\right.\)
Vậy \(m=1\)
\(x^2-2x+4\sqrt{\left(4-x\right)\left(x+2\right)}-18+m\ge0\)
\(\Leftrightarrow-\left(-x^2+2x+8\right)+4\sqrt{-x^2+2x+8}\ge10-m\left(1\right)\)
Đặt \(t=\sqrt{-x^2+2x+8}\left(0\le t\le3\right)\)
\(\left(1\right)\Leftrightarrow10-m\le f\left(t\right)=-t^2+4t\)
Yêu cầu bài toán thỏa mãn khi
\(10-m\le minf\left(t\right)=min\left\{f\left(0\right);f\left(3\right);f\left(2\right)\right\}=f\left(0\right)=0\)
\(\Leftrightarrow m\ge10\)
Vậy \(m\ge10\)
\(x^4+4x^3+4x^2-4mx^2-8mx+3m+1=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2+2x\right)^2-4m\left(x^2+2x\right)+3m+1=0\)
Đặt \(x^2+2x=t\ge-1\)
\(\Rightarrow f\left(t\right)=t^2-4m.t+3m+1=0\) (1)
\(\Delta'=4m^2-3m-1\ge0\Rightarrow\)\(\left[{}\begin{matrix}m\ge1\\m\le-\dfrac{1}{4}\end{matrix}\right.\)
Khi đó (1) có 2 nghiệm thỏa mãn \(t_1\le t_2< -1\) khi
\(\left\{{}\begin{matrix}f\left(-1\right)>0\\\dfrac{t_1+t_2}{2}< -1\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}7m+2>0\\2m< -1\end{matrix}\right.\) (ko tồn tại m thỏa mãn)
\(\Rightarrow\) (1) luôn có ít nhất 1 nghiệm không nhỏ hơn -1
\(\Rightarrow\) Pt đã cho có nghiệm khi \(\left[{}\begin{matrix}m\ge1\\m\le-\dfrac{1}{4}\end{matrix}\right.\)
