Câu hỏi của Hung Phi

Question

Tìm $m$ để phương trình $m\ln (1-x)-\ln x=m$ có nghiệm $x \in (0;1)$.

Akai Haruma · Accepted Answer

Lời giải:

Ta có:

$m\ln (1-x)-\ln x=m$

$\Rightarrow m=\frac{\ln x}{\ln (1-x)-1}$

Đặt $f(x)=\frac{\ln x}{\ln (1-x)-1}$ $\Rightarrow f'(x)=\frac{\frac{1}{x}(\ln (1-x)-1)+\frac{1}{1-x}.\ln x}{(\ln (1-x)-1)^2}$

Với mọi $x\in (0;1)$ thì $\ln x< 0; \ln (1-x)< 0$.

$\Rightarrow \frac{1}{x}(\ln (1-x)-1)+\frac{1}{1-x}.\ln x< 0$

$\Rightarrow f'(x)< 0, \forall x\in (0;1)$ hay hàm $f(x)$ nghịch biến trên $(0;1)$

-----------------

Lại có:

$\lim _{x\to 0+}\frac{\ln x}{\ln (1-x)-1}=\lim_{x\to 0+}\frac{1}{\ln (1-x)-1}.\lim_{x\to +\infty}\ln x$

$-1.(-\infty)=+\infty$

$\lim_{x\to 1-}\frac{\ln x}{\ln (1-x)-1}=\lim _{x\to 1-}\ln x.\lim_{x\to 1-}\frac{1}{\ln (1-x)-1}=0.0=0$

Do đó PT có nghiệm khi $m\in (0;+\infty)$Câu trả lời: Lời giải: