Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\Leftrightarrow\left|x^2-4\left|x\right|+2\right|=m\) (1) có 8 nghiệm phân biệt
Đặt \(x^2-4\left|x\right|+2=t\) (2)
Từ đồ thị của hàm \(y=x^2-4\left|x\right|+2\) ta thấy:
- Với \(t< -2\Rightarrow\) (2) vô nghiệm
- Với \(\left[{}\begin{matrix}t=-2\\t>2\end{matrix}\right.\Rightarrow\) (2) có 2 nghiệm
- Với \(-2< t< 2\Rightarrow\) (2) có 4 nghiệm
- Với \(t=2\Rightarrow\) (2) có 3 nghiệm
Khi đó (1) trở thành: \(\left|t\right|=m\) (3) có tối đa 2 nghiệm
\(\Rightarrow\)Phương trình đã cho có 8 nghiệm pb khi và chỉ khi (3) có 2 nghiệm t phân biệt thỏa mãn \(-2< t< 2\)
\(\Rightarrow0< m< 2\)
Không có phương án nào đúng
1: \(f'\left(x\right)=\dfrac{1}{3}\cdot3x^2+2x-\left(m+1\right)=x^2+2x-m-1\)
\(\Delta=2^2-4\left(-m-1\right)=4m+8\)
Để f'(x)>=0 với mọi x thì 4m+8<=0 và 1>0
=>m<=-2
=>\(m\in\left\{-10;-9;...;-2\right\}\)
=>Có 9 số
`f'(x) = x^2 - 4x+m`
`f'(x) >=0 <=>x^2-4x+m>=0`
`<=> \Delta' >=0`
`<=> 2^2-1.m>=0`
`<=> m<=4`
Vậy....
1.
\(f'\left(x\right)=3x^2-6mx+3\left(2m-1\right)\)
\(f'\left(x\right)-6x=3x^2-3.2\left(m+1\right)x+3\left(2m-1\right)>0\)
\(\Leftrightarrow x^2-2\left(m+1\right)x+2m-1>0\)
\(\Leftrightarrow x^2-2x-1>2m\left(x-1\right)\)
Do \(x>2\Rightarrow x-1>0\) nên BPT tương đương:
\(\dfrac{x^2-2x-1}{x-1}>2m\Leftrightarrow\dfrac{\left(x-1\right)^2-2}{x-1}>2m\)
Đặt \(t=x-1>1\Rightarrow\dfrac{t^2-2}{t}>2m\Leftrightarrow f\left(t\right)=t-\dfrac{2}{t}>2m\)
Xét hàm \(f\left(t\right)\) với \(t>1\) : \(f'\left(t\right)=1+\dfrac{2}{t^2}>0\) ; \(\forall t\Rightarrow f\left(t\right)\) đồng biến
\(\Rightarrow f\left(t\right)>f\left(1\right)=-1\Rightarrow\) BPT đúng với mọi \(t>1\) khi \(2m< -1\Rightarrow m< -\dfrac{1}{2}\)
2.
Thay \(x=0\) vào giả thiết:
\(f^3\left(2\right)-2f^2\left(2\right)=0\Leftrightarrow f^2\left(2\right)\left[f\left(2\right)-2\right]=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}f\left(2\right)=0\\f\left(2\right)=2\end{matrix}\right.\)
Đạo hàm 2 vế giả thiết:
\(-3f^2\left(2-x\right).f'\left(2-x\right)-12f\left(2+3x\right).f'\left(2+3x\right)+2x.g\left(x\right)+x^2.g'\left(x\right)+36=0\) (1)
Thế \(x=0\) vào (1) ta được:
\(-3f^2\left(2\right).f'\left(2\right)-12f\left(2\right).f'\left(2\right)+36=0\)
\(\Leftrightarrow f^2\left(2\right).f'\left(2\right)+4f\left(2\right).f'\left(2\right)-12=0\) (2)
Với \(f\left(2\right)=0\) thế vào (2) \(\Rightarrow-12=0\) ko thỏa mãn (loại)
\(\Rightarrow f\left(2\right)=2\)
Thế vào (2):
\(4f'\left(2\right)+8f'\left(2\right)-12=0\Leftrightarrow f'\left(2\right)=1\)
\(\Rightarrow A=3.2+4.1\)
3.
\(f\left(x+\frac{\pi}{3}\right)=cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right)\Rightarrow f'\left(x+\frac{\pi}{3}\right)=-sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right)\)
\(f'\left(x-\frac{\pi}{6}\right)=-sin\left(x-\frac{\pi}{6}\right)\)
\(f'\left(0\right)=-sin\left(0\right)=0\)
\(2f'\left(x+\frac{\pi}{3}\right).f'\left(x-\frac{\pi}{6}\right)=2sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right)sin\left(x-\frac{\pi}{6}\right)\)
\(=cos\left(\frac{\pi}{2}\right)-cos\left(2x+\frac{\pi}{6}\right)=-cos\left(2x+\frac{\pi}{6}\right)\)
\(f'\left(0\right)-f\left(2x+\frac{\pi}{6}\right)=0-cos\left(2x+\frac{\pi}{6}\right)=-cos\left(2x+\frac{\pi}{6}\right)\)
\(\Rightarrow2f'\left(x+\frac{\pi}{3}\right)f'\left(x-\frac{\pi}{6}\right)=f'\left(0\right)-f\left(2x+\frac{\pi}{6}\right)\) (đpcm)
4.
\(y=3\left(sin^4x+cos^4x\right)-2\left(sin^6x+cos^6x\right)\)
\(=3\left(sin^2x+cos^2x\right)^2-6sin^2x.cos^2x-2\left(sin^2x+cos^2x\right)^3+6sin^2x.cos^2x\left(sin^2x+cos^2x\right)\)
\(=3-2=1\)
\(\Rightarrow y'=0\) ; \(\forall x\)
5.
\(y=\left(\frac{sinx}{1+cosx}\right)^3=\left(\frac{sinx\left(1-cosx\right)}{1-cos^2x}\right)^3=\left(\frac{sinx\left(1-cosx\right)}{sin^2x}\right)^3=\left(\frac{1-cosx}{sinx}\right)^3\)
\(y'=3\left(\frac{1-cosx}{sinx}\right)^2\left(\frac{sin^2x-cosx\left(1-cosx\right)}{sin^2x}\right)=3\left(\frac{1-cosx}{sinx}\right)^2\left(\frac{1-cosx}{sin^2x}\right)=\frac{3\left(1-cosx\right)^3}{sin^4x}\)
\(\Rightarrow y'.sinx-3y=\frac{3\left(1-cosx\right)^3}{sin^3x}-3\left(\frac{1-cosx}{sinx}\right)^3=0\) (đpcm)
a. Áp dụng công thức L'Hospital:
\(\lim\limits_{x\to 0}\frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{1-x}}{\sqrt[3]{x+1}-\sqrt{1-x}}=\lim\limits_{x\to 0}\frac{\frac{1}{2}(x+1)^{\frac{-1}{2}}+\frac{1}{2}(1-x)^{\frac{-1}{2}}}{\frac{1}{3}(x+1)^{\frac{-2}{3}}+\frac{1}{2}(1-x)^{\frac{-1}{2}}}=\frac{1}{\frac{5}{6}}=\frac{6}{5}\)
b.
\(\lim\limits_{x\to 0}(\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2})=\lim\limits_{x\to 0}\frac{x-1}{x^2}=-\infty\)
c. Áp dụng quy tắc L'Hospital:
\(\lim\limits_{x\to +\infty}\frac{x^4-x^3+11}{2x-7}=\lim\limits_{x\to +\infty}\frac{4x^3-3x^2}{2}=+\infty \)
d.
\(\lim\limits_{x\to 5}\frac{7}{(x-1)^2}.\frac{2x+1}{2x-3}=\frac{7}{(5-1)^2}.\frac{2.5+11}{2.5-3}=\frac{11}{16}\)
\(\lim\limits_{x\rightarrow0^+}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow0^+}\left(m+\frac{1-x}{1+x}\right)=m+1\)
\(\lim\limits_{x\rightarrow0^-}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow0^-}\frac{\left(\sqrt{1-x}-\sqrt{1+x}\right)\left(\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}\right)}{x\left(\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}\right)}=\lim\limits_{x\rightarrow0^-}\frac{-2x}{x\left(\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}\right)}\)
\(=\lim\limits_{x\rightarrow0^-}\frac{-2}{\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}}=-1\)
Để hàm số liên tục tại x=0
\(\Leftrightarrow\lim\limits_{x\rightarrow0^+}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow0^-}f\left(x\right)=f\left(0\right)\)
\(\Leftrightarrow m+1=-1\Rightarrow m=-2\)
Bài 2:
Đặt \(f\left(x\right)=4x^4+2x^2-x-3\)
\(f\left(x\right)\) là hàm đa thức nên liên tục trên mọi khoảng thuộc R
\(f\left(-1\right)=4>0\) ; \(f\left(0\right)=-3< 0\)
\(\Rightarrow f\left(-1\right).f\left(0\right)< 0\Rightarrow f\left(x\right)\) có ít nhất 1 nghiệm trên \(\left(-1;0\right)\)
\(f\left(1\right)=2>0\Rightarrow f\left(0\right).f\left(1\right)< 0\Rightarrow f\left(x\right)\) có ít nhất 1 nghiệm trên \(\left(0;1\right)\)
Vậy \(f\left(x\right)\) có ít nhất 2 nghiệm trên \(\left(-1;1\right)\)
- Ta có:
- Hàm số có giới hạn khi x → 0 khi và chỉ khi:
Chọn D.