Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(u_n=\dfrac{1}{2^2-1}+\dfrac{1}{3^2-1}+...+\dfrac{1}{n^2-1}\)
\(=\dfrac{1}{\left(2-1\right)\left(2+1\right)}+\dfrac{1}{\left(3-1\right)\left(3+1\right)}+...+\dfrac{1}{\left(n-1\right)\left(n+1\right)}\)
\(=\dfrac{1}{1\cdot3}+\dfrac{1}{2\cdot4}+...+\dfrac{1}{\left(n-1\right)\cdot\left(n+1\right)}\)
\(=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{2}{1\cdot3}+\dfrac{2}{2\cdot4}+...+\dfrac{2}{\left(n-1\right)\left(n+1\right)}\right)\)
\(=\dfrac{1}{2}\cdot\left(1-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{4}+...+\dfrac{1}{\left(n-1\right)}-\dfrac{1}{\left(n+1\right)}\right)\)
\(=\dfrac{1}{2}\left(1+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{n+1}\right)=\dfrac{1}{2}\cdot\left(\dfrac{3}{2}-\dfrac{1}{n+1}\right)\)
\(=\dfrac{3}{4}-\dfrac{1}{2n+2}\)
\(\lim\limits u_n=\lim\limits\left(\dfrac{3}{4}-\dfrac{1}{2n+2}\right)\)
\(=\lim\limits\dfrac{3}{4}-\lim\limits\dfrac{1}{2n+2}\)
\(=\dfrac{3}{4}-\lim\limits\dfrac{\dfrac{1}{n}}{2+\dfrac{1}{n}}\)
=3/4
=>Chọn A
Bạn tham khảo câu trả lời của anh Lâm
https://hoc24.vn/cau-hoi/.334447965337
a) Để chứng minh rằng Un > 1 đối với mọi N và Un là dãy tăng, ta có thể sử dụng phương pháp quy nạp.
Bước cơ sở: Ta thấy rằng u1 = 2 > 1.
Bước giả sử: Giả sử đúng đối với một số nguyên k ≥ 1, tức là uk > 1.
Bước bước: Ta sẽ chứng minh rằng uk+1 > 1. Từ công thức cho dãy (Un), ta có:
uk+1 = uk-2015 + uk + 1/uk - uk + 3
Vì uk > 1 (theo giả thiết giả sử), ta có uk - 2015 > 0 và uk + 3 > 0. Do đó, uk+1 > 0.
Vì vậy, ta có uk+1 > 1, và đẳng thức này đúng đối với mọi số nguyên k ≥ 1.
Do đó, ta chứng minh được rằng Un > 1 đối với mọi N và Un là dãy tăng.
b) Để tính limn∑i=11uk - i + 2, ta có thể sử dụng định nghĩa của dãy (Un) và công thức tổng của dãy số aritmeti.
Từ công thức cho dãy (Un), ta có:
uk - i + 2 = uk - 2015 - i + uk + 1 - i + uk + 2 - i
Vì Un là dãy tăng, ta có thể viết lại công thức trên như sau:
uk - i + 2 = uk - 2015 - i + uk + 1 - i + uk + 2 - i
= (uk+1 - 2015 + uk + 1) - (uk - 2015 + uk) + (uk+1 - uk)
= 2uk+1 - 2uk + 2015
Do đó, ta có thể viết lại tổng như sau:
∑i=11uk - i + 2 = 2∑i=11uk+1 - 2∑i=11uk + 2015∑i=1
= 2(u12 - u2) + 2015(12)
Với giá trị cụ thể của u12 và u2, ta có thể tính được tổng trên.
a.
\(u_n=\dfrac{1}{\left(2-1\right)\left(2+1\right)}+\dfrac{1}{\left(3-1\right)\left(3+1\right)}+...+\dfrac{1}{\left(n-1\right)\left(n+1\right)}\)
\(=\dfrac{1}{1.3}+\dfrac{1}{2.4}+\dfrac{1}{3.5}+...+\dfrac{1}{\left(n-2\right)n}+\dfrac{1}{\left(n-1\right)\left(n+1\right)}\)
\(=\dfrac{1}{2}\left(1-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{5}+...+\dfrac{1}{n-2}-\dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{n-1}-\dfrac{1}{n+1}\right)\)
\(=\dfrac{1}{2}\left(1+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}\right)\)
\(=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{3}{2}-\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}\right)\)
\(\Rightarrow\lim u_n=\lim\left(\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{3}{2}-\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}\right)\right)=\dfrac{1}{2}.\dfrac{3}{2}=\dfrac{3}{4}\)
b.
\(u_n=\dfrac{1}{1.2}+\dfrac{1}{2.3}+\dfrac{1}{3.4}+...+\dfrac{1}{n\left(n+1\right)}\)
\(=1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+...+\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}\)
\(=1-\dfrac{1}{n+1}\)
\(\Rightarrow\lim u_n=\lim\left(1-\dfrac{1}{n+1}\right)=1\)
\(u_n=\dfrac{1}{1\cdot3}+\dfrac{1}{2\cdot4}+...+\dfrac{1}{\left(n-1\right)\left(n+1\right)}\)
\(=\dfrac{1}{2}\left[\left(1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+...+\dfrac{1}{n-1}\right)-\left(\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}+...+\dfrac{1}{n+1}\right)\right]\)
\(=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{3}{2}-\dfrac{2n+1}{n\left(n+1\right)}\right)=\dfrac{3n^2+n-1}{4n\left(n+1\right)}\)
\(\Rightarrow limu_n=lim\dfrac{3n^2+n-1}{4n^2+4n}=lim\dfrac{3+\dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{n^2}}{4+\dfrac{4}{n}}=\dfrac{3}{4}\)
\(\dfrac{1}{n^2-1}=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{2}{\left(n-1\right)\left(n+1\right)}=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{n-1}-\dfrac{1}{n+1}\right)\)
Khi đó:
\(u_n=\dfrac{1}{2}\left(1-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{5}+...+\dfrac{1}{n-2}-\dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{n-1}-\dfrac{1}{n+1}\right)\)
\(=\dfrac{1}{2}\left(1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}\right)=\dfrac{3n^2+3n+2}{4n\left(n+1\right)}\)
\(lim_{u_n}=lim\dfrac{3n^2+3n+2}{4n\left(n+1\right)}=lim\dfrac{3+\dfrac{3}{n}+\dfrac{2}{n^2}}{4\left(1+\dfrac{1}{n}\right)}=\dfrac{3}{4}\)