Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(f\left(x\right)=\sum\limits^3_{i=0}C_3^i\left(x+x^2\right)^i.\left(\dfrac{1}{4}\right)^{3-i}\sum\limits^{15}_{k=0}C_{15}^k\left(2x\right)^k\)
\(=\sum\limits^3_{i=0}\sum\limits^i_{j=0}C_3^i.C_i^jx^j.\left(x^2\right)^{i-j}\left(\dfrac{1}{4}\right)^{3-i}\sum\limits^{15}_{k=0}C_{15}^k.2^k.x^k\)
\(=\sum\limits^3_{i=0}\sum\limits^i_{j=0}\sum\limits^{15}_{k=0}C_3^iC_i^jC_{15}^k\left(\dfrac{1}{4}\right)^{3-i}.2^k.x^{2i+k-j}\)
Số hạng chứa \(x^{13}\) thỏa mãn:
\(\left\{{}\begin{matrix}0\le i\le3\\0\le j\le i\\0\le k\le15\\2i+k-j=13\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left(i;j;k\right)=\left(0;0;13\right);\left(1;0;12\right);\left(1;1;11\right);\left(2;0;11\right);\left(2;1;10\right);\left(2;2;9\right);\left(3;0;10\right);\left(3;1;9\right)\)
\(\left(3;2;8\right);\left(3;3;7\right)\) (quá nhiều)
Hệ số....
\(C_2^2+C_3^2+...+C_n^2=C_3^3+C_3^2+C_4^2+...+C_n^2\) (do \(C_2^2=C_3^3=1\))
\(=C_4^3+C_4^2+C_5^2+...+C_n^2=C_5^3+C_5^2+...+C_n^2\)
\(=...=C_n^3+C_n^2=C_{n+1}^3\)
Do đó:
\(2C_{n+1}^3=3A_{n+1}^2\Leftrightarrow\dfrac{2.\left(n+1\right)!}{3!.\left(n-2\right)!}=\dfrac{3.\left(n+1\right)!}{\left(n-1\right)!}\)
\(\Leftrightarrow n-1=9\Rightarrow n=10\)
\(\Rightarrow P=\left(1-x-3x^3\right)^{10}=\sum\limits^{10}_{k=0}C_{10}^k\left(-x-3x^3\right)^k\)
\(=\sum\limits^{10}_{k=0}C_{10}^k\left(-1\right)^k\left(x+3x^3\right)^k=\sum\limits^{10}_{k=0}\sum\limits^k_{i=0}C_{10}^kC_k^i\left(-1\right)^kx^i.3^{k-i}.x^{3\left(k-i\right)}\)
\(=\sum\limits^{10}_{k=0}\sum\limits^k_{i=0}C_{10}^kC_k^i\left(-1\right)^k.3^{k-i}.x^{3k-2i}\)
Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}0\le i\le k\le10\\i;k\in N\\3k-2i=4\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left(i;k\right)=\left(1;2\right);\left(4;4\right)\)
Hệ số: \(C_{10}^2C_2^1\left(-1\right)^2.3^1+C_{10}^4C_4^4.\left(-1\right)^4.3^0=...\)
\(\Rightarrow he-so:\left[{}\begin{matrix}C^9_{10}C^1_9\left(-3\right)^{10-9}\left(-1\right)=270\\C^{10}_{10}C^4_{10}\left(-3\right)^{10-10}.\left(-1\right)^4=210\end{matrix}\right.\)
Lời giải.
Cách 1:
Trong khai triển trên ta thấy bậc của x trong 3 số hạng đầu nhỏ hơn 8, bậc của x trong 4 số hạng cuối lớn hơn 8.
Do đó x8 chỉ có trong số hạng thứ tư, thứ năm với hệ số tương ứng là:
.
Vậy hệ số cuả x8 trong khai triển đa thức 
là:
Cách 2: Ta có:
với 0 ≤ k ≤ n ≤ 8.
Số hạng chứa x8 ứng với 2n + k = 8 ⇒ k = 8 -2n là một số chẵn.
Thử trực tiếp ta được k = 0, n =4 và k = 2, n = 3.
Vậy hệ số của x8 là 
Chọn C.
Theo công thức nhị thức Niu-tơn, ta có :
\(P=C_6^0\left(x-1\right)^6+C_6^1\left(x-1\right)^5+....+C_6^kx^{2k}\left(x-1\right)^{6-k}+....+C_6^5x^{10}\left(x-1\right)+C_6^6x^{12}\)
Suy ra, khi khai triển P thành đa thức, \(x^2\) chỉ xuất hiện khi khai triển \(C_6^0\left(x-1\right)^6\) và \(C_6^1\left(x-1\right)^5\)
Hệ số của \(x^2\) trong khai triển \(C_6^0\left(x-1\right)^6\) là : \(C_6^0.C_6^2\)
Hệ số của \(x^2\) trong khai triển \(C_6^1\left(x-1\right)^5\) là : \(-C_6^1.C_5^0\)
Vì vậy hệ số của \(x^2\) trong khai triển P thành đa thức là : \(C_6^0.C_6^2-C_6^1.C_5^0=9\)
Xài cái này gõ bài đi bạn, thề như này hiểu chết liền á :(
Đáp án D.