Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Tìm giá trị lớn nhất của hàm số sau trên [-1; 1]
A. max y = 0 B. max y = 2
C. max y = 4 D. max y = 2
Tập xác định -1 ≤ x ≤ 1, do đó 1 – x ≤ 2, 1 + x ≤ 2 ⇒ ( 1 - x ) + ( 1 + x ) ≤ 2 2 < 4 nên C sai; Ngoài ra vì 0 và 2 đều nhỏ hơn 2 nên chỉ cần xét xem 2 có phải là giá trị của hàm số không, dễ thấy khi x = 0 thì y = 2. Vậy max y = 2
Đáp án: B
\(\left\{{}\begin{matrix}\left(x-y\right)^2\ge0=>x^2+y^2\ge2xy\\\left(x+y\right)^2\ge0=>x^2+y^2\ge-2xy\end{matrix}\right.\)
Ta có:
\(\left\{{}\begin{matrix}2\left(x^2+y^2\right)+xy\ge5xy\\2\left(x^2+y^2\right)+xy\ge-3xy\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}1\ge5xy\\1\ge-3xy\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow-\dfrac{1}{3}\le xy\le\dfrac{1}{5}\)
Ta có:
P=\(2\left(x^2+y^2\right)^2-4x^2y^2+2+\left(x^2+y^2+2xy\right)\)
P= \(\dfrac{2\left(1-xy\right)^2}{4}-4\left(xy\right)^2+2+\left(\dfrac{1-xy}{2}+2xy\right)\)
=\(\dfrac{\left(xy\right)^2-2xy+1}{2}-4\left(xy\right)^2+2+\dfrac{3xy}{2}+\dfrac{1}{2}\)
Đặt t = xy => \(-\dfrac{1}{3}\le t\le\dfrac{1}{5}\)
Ta có :
P= \(\dfrac{-7t^2}{2}+\dfrac{t}{2}+3=-\dfrac{7}{2}\left(t-\dfrac{1}{14}\right)^2+\dfrac{169}{56}\)
Ta có: \(-\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{14}\le t-\dfrac{1}{14}\le\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{14}\)
<=>\(-\dfrac{17}{42}\le t-\dfrac{1}{14}\le\dfrac{9}{70}\)
=> 0\(\le\left(t-\dfrac{1}{14}\right)^2\le\left(\dfrac{17}{42}\right)^2\)
\(\dfrac{169}{56}\ge P\ge\dfrac{169}{56}-\dfrac{7}{2}\left(\dfrac{17}{42}\right)^2\)
Max P= \(\dfrac{169}{56}\) => t = 1/14 => \(xy=\dfrac{1}{14}\rightarrow x^2+y^2=\dfrac{13}{14}\) => x,y=...
Min P=\(\dfrac{169}{56}-\dfrac{7}{6}\left(\dfrac{17}{42}\right)^2\) <=> \(t=xy=-\dfrac{1}{3}\)
<=> x=-y=\(\dfrac{1}{\sqrt{3}}\)
Đặt \(\sqrt{x^2+4x+5}=t\Rightarrow t\in\left[\sqrt{5};\sqrt{17}\right]\)
\(\Rightarrow y=f\left(t\right)=t^2-2t+7\)
\(-\dfrac{b}{2a}=1\notin\left[\sqrt{5};\sqrt{17}\right]\)
\(f\left(\sqrt{5}\right)=10+4\sqrt{5}\) ; \(f\left(\sqrt{17}\right)=22+4\sqrt{17}\)
\(\Rightarrow y_{min}=10+4\sqrt{5}\) ; \(y_{max}=22+4\sqrt{17}\)
Ta có: \(\left(x-y\right)\left(1-xy\right)\le\dfrac{1}{4}\left(x-y+1-xy\right)^2=\dfrac{1}{4}\left(x+1\right)^2\left(1-y\right)^2\)
\(\Rightarrow P\le\dfrac{\left(1+x\right)^2\left(1-y\right)^2}{4\left(1+x\right)^2\left(1+y\right)^2}=\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{y^2-2y+1}{y^2+2y+1}\right)=\dfrac{1}{4}\left(1-\dfrac{4y}{y^2+2y+1}\right)\le\dfrac{1}{4}\)
\(P_{max}=\dfrac{1}{4}\) khi \(\left(x;y\right)=\left(1;0\right)\)
Lại có:
\(\left(y-x\right)\left(1-xy\right)\le\dfrac{1}{4}\left(y-x+1-xy\right)^2=\dfrac{1}{4}\left(1+y\right)^2\left(1-x\right)^2\)
\(\Rightarrow-P\le\dfrac{\left(1+y\right)^2\left(1-x\right)^2}{4\left(1+y\right)^2\left(1+x\right)^2}=\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1-2x+x^2}{1+2x+x^2}\right)=\dfrac{1}{4}\left(1-\dfrac{4x}{x^2+2x+1}\right)\le\dfrac{1}{4}\)
\(\Rightarrow-P\le\dfrac{1}{4}\Rightarrow P\ge-\dfrac{1}{4}\)
\(P_{min}=-\dfrac{1}{4}\) khi \(\left(x;y\right)=\left(0;1\right)\)
(Do \(y\ge0\Rightarrow\dfrac{4y}{y^2+2y+1}\ge0\Rightarrow1-\dfrac{4y}{y^2+2y+1}\le1\Rightarrow...\))
1. 1/x + 2/1-x = (1/x - 1) + (2/1-x - 2) + 3
= 1-x/x + (2-2(1-x))/1-x + 3
= 1-x/x + 2x/1-x + 3 >= 2√2 + 3
Dấu "=" xảy ra khi x =√2 - 1
2. a = √z-1, b = √x-2, c = √y-3 (a,b,c >=0)
=> P = √z-1 / z + √x-2 / x + √y-3 / y
= a/a^2+1 + b/b^2+2 + c/c^2+3
a^2+1 >= 2a => a/a^2+1 <= 1/2
b^2+2 >= 2√2 b => b/b^2+2 <= 1/2√2
c^2+3 >= 2√3 c => c/c^2+3 <= 1/2√3
=> P <= 1/2 + 1/2√2 + 1/2√3
Dấu = xảy ra khi a^2 = 1, b^2 = 2, c^2 =3
<=> z-1 = 1, x-2 = 2, y-3 = 3
<=> x=4, y=6, z=2
\(P=\dfrac{4x^2+2xy-\left(x^2+y^2\right)}{2xy-2y^2+3\left(x^2+y^2\right)}=\dfrac{3x^2+2xy-y^2}{3x^2+2xy+y^2}\)
Biểu thức này không tồn tại max mà chỉ tồn tại min
\(P=\dfrac{-2\left(3x^2+2xy+y^2\right)+9x^2+6xy+y^2}{3x^2+2xy+y^2}=-2+\dfrac{\left(3x+y\right)^2}{2x^2+\left(x+y\right)^2}\ge-2\)
\(x+y=4\Rightarrow y=4-x\)
\(P=2x^2+\left(4-x\right)^2-3x+4-x\)
\(P=3x^2-12x+20\)
Do \(x+y=4\Rightarrow0\le x\le4\)
Xét \(P=f\left(x\right)=3x^2-12x+20\) trên \(\left[0;4\right]\)
\(P\left(0\right)=20\) ; \(P\left(4\right)=20\); \(P\left(-\frac{b}{2a}\right)=P\left(2\right)=8\)
\(\Rightarrow P_{max}=20\) khi \(\left(x;y\right)=\left(0;4\right);\left(4;0\right)\)
\(P_{min}=8\) khi \(x=y=2\)
\(x^4+y^4+\dfrac{1}{xy}=xy+2\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2-y^2\right)^2=xy-\dfrac{1}{xy}+2-2x^2y^2\ge0\)
Đặt \(xy=a\)
\(\Rightarrow-2a^3+a^2+2a-1\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+1\right)\left(a-1\right)\left(1-2a\right)\ge0\)
Ta có a > 0
\(\Rightarrow\left(a-1\right)\left(2a-1\right)\le0\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{2}\le a\le1\) \(\Rightarrow.......\)
Từ đề bài suy ra:
Bảng biến thiên
Ta có y(-2) =5; y(2) =3
Dựa vào bảng biến thiên ta có
Chọn D.