Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
1/ Đề đúng phải là \(3x^2+2y^2\) có giá trị nhỏ nhất nhé.
Áp dụng BĐT BCS , ta có
\(1=\left(\sqrt{2}.\sqrt{2}x+\sqrt{3}.\sqrt{3}y\right)^2\le\left[\left(\sqrt{2}\right)^2+\left(\sqrt{3}\right)^2\right]\left(2x^2+3y^2\right)\)
\(\Rightarrow2x^2+3y^2\ge\frac{1}{5}\). Dấu "=" xảy ra khi \(\begin{cases}\frac{\sqrt{2}x}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3}y}{\sqrt{3}}\\2x+3y=1\end{cases}\) \(\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{5}\)
Vậy \(3x^2+2y^2\) có giá trị nhỏ nhất bằng 1/5 khi x = y = 1/5
2/ Áp dụng bđt AM-GM dạng mẫu số ta được
\(6=\frac{\left(\sqrt{2}\right)^2}{x}+\frac{\left(\sqrt{3}\right)^2}{y}\ge\frac{\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)^2}{x+y}\)
\(\Rightarrow x+y\ge\frac{\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)^2}{6}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\begin{cases}\frac{\sqrt{2}}{x}=\frac{\sqrt{3}}{y}\\\frac{2}{x}+\frac{3}{y}=6\end{cases}\) \(\Rightarrow\begin{cases}x=\frac{2+\sqrt{6}}{6}\\y=\frac{3+\sqrt{6}}{6}\end{cases}\)
Vậy ......................................
ta có: \(f_{\left(x\right)}=\frac{x}{2}+\frac{2}{x-1}=\frac{x-1}{2}+\frac{2}{x-1}+\frac{1}{2}\)
AD cô-si ta được \(\frac{x-1}{2}+\frac{2}{x-1}\ge2\)( dấu "=" xảy ra khi x=3)
=> \(f_{\left(x\right)}\ge2+\frac{1}{2}=\frac{5}{2}\)
=> Min f(x) =5/2 tại x =3
\(f\left(x\right)=3x+\frac{2}{\left(2x+1\right)^2}=\frac{3}{4}\left(2x+1\right)+\frac{3}{4}\left(2x+1\right)+\frac{2}{\left(2x+1\right)^2}-\frac{3}{2}\)
\(\ge3\sqrt[3]{\left[\frac{3}{4}\left(2x+1\right)\right]^2.\frac{2}{\left(2x+1\right)^2}}-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}\sqrt[3]{9}-\frac{3}{2}\)
Dấu \(=\)khi \(\frac{3}{4}\left(2x+1\right)=\frac{2}{\left(2x+1\right)^2}\Leftrightarrow\left(2x+1\right)^3=\frac{8}{3}\Leftrightarrow x=\frac{1}{\sqrt[3]{3}}-\frac{1}{2}\).
f(x) = x3 +3/x = x3 + 1/x +1/x +1/x
cô si 4 số làm mất x là xong
Tổng mẫu =hằng số=> áp dụng BĐT đưa mẫu về hằng số
Mình trình bầy cho bạn cách khác xuất phát từ gốc của vấn đề
Tất nhiên đi từ gốc --> mệt hơn nhưng rất vững kể cả bài toán có suy biến chút ít.
\(f\left(x\right)=\frac{1}{1-x}+\frac{9}{3+x}=\frac{3+x}{\left(1-x\right)\left(3+x\right)}+\frac{9\left(1-x\right)}{\left(3+x\right)\left(1-x\right)}=\frac{12-8x}{-x^2-2x+3}\)
Với điều kiện (*) -3<x<1 => mẫu số luôn >0; tử số có thể >0 hoặc <0. =>vậy thêm vào tử một đại lượng. sao cho tử luôn không âm hoặc luôn âm.
Ta có: \(\frac{12-8x}{-x^2-2x+3}-4=\frac{12-8x-4\left(-x^2-2x+3\right)}{\left(-x^2-2x+3\right)}=\frac{12-8x+4x^2+8x-12}{\left(-x^2-2x+3\right)}=\frac{4x^2}{\left(-x^2-2x+3\right)}\)
Mẫu số >0 lý luận trước: Tử số =4x^2>=0
\(\Rightarrow\frac{4x^2}{\left(-x^2-2x+3\right)}\ge0\Rightarrow\frac{12-8x}{\left(-x^2-2x+3\right)}-4\ge0\Rightarrow\frac{12-8x}{\left(-x^2-2x+3\right)}\ge4\)GTNN=4 khi x=0 thủa mãn điều kiện (*)
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có:
\(f\left(x\right)=\frac{1}{1-x}+\frac{9}{3+x}=\frac{1}{1-x}+\frac{3^2}{3+x}\)
\(\ge\frac{\left(1+3\right)^2}{1-x+3+x}=\frac{4^2}{4}=4\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=0\)
\(f\left(x\right)=x+\frac{2}{x-1}\)
\(=\frac{x-1}{2}+\frac{2}{x-1}+\frac{1}{2}\)
Ap dụng bất đẳng thức Cô - si :
\(f\left(x\right)>2.\sqrt{\frac{x-1}{2}.\frac{2}{x-1}}+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}\)
Dấu '' = '' xảy ra khi \(\frac{x-1}{2}=\frac{2}{x-1}\)
\(\left(x-1\right)^2=4\)
\(x-1=2\)
\(x=3\)
Vậy GTNN là 3
Ta có: \(f\left(x\right)=x+\frac{2}{x-1}\) \(=x-1+\frac{2}{x-1}\)\(+1>2\sqrt{\left(x-1\right)\frac{2}{x-1}}+1=2\sqrt{2+1}\)
Dấu "=" xảy ra <=> \(\hept{\begin{cases}x>1\\x-1=\frac{2}{x-1}\end{cases}}\)\(x=1+\sqrt{2}\) vậy \(m=2\sqrt{2}+1\)