Question

[Nguyễn Anh Dũng An]

Tìm cặp (x,y) nguyên tố thỏa mãn \(x^2-2y^2=1\)

Answer 1

[Bảo Lê Gia]

Ta có: \(x^2-2y^2=1\Rightarrow x^2+1=2\left(y^2+1\right)\)          (**)

Vì \(2\left(y^2+1\right)⋮2\Rightarrow\left(x^2+1\right)⋮2\Rightarrow x^2lẻ\Rightarrow\)x lẻ 

Vậy x có dạng 2k + 1, thay x = 2k + 1 vào (**) ta được:

 \(\left(2k+1\right)^2+1=2\left(y^2+1\right)\)

\(\Rightarrow4k^2+4k+2=2\left(y^2+1\right)\)

\(\Rightarrow2k^2+2k+1=y^2+1\)

\(\Rightarrow2\left(k^2+k\right)=y^2\)

\(\Rightarrow y^2⋮2\) vì \(2\left(k^2+k\right)⋮2\)

Mà y nguyên tố nên suy ra y = 2. Khi đó x = 3. (thoả x,y là số nguyên tố).

Vậy (x,y) = (3,2)

Answer 2

[Phạm Tuấn Đạt]

Vì VT lẻ mà \(2y^2\)là số chẵn \(\Rightarrow x^2lẻ\)

Cho x = 2k + 1(k thuộc N)

pt trở thành \(\left(2k+1\right)^2-2y^2=1\)

\(\Leftrightarrow4k^2+4k-2y^2=0\)

\(\Leftrightarrow2k^2+2k-y^2=0\)

Cần \(y^2⋮2\Leftrightarrow y^2⋮4\).Vì y là snt nên nó chỉ có thể là 2\(\Rightarrow y=2\)

Mà thay y = 2 vô thì pt ko có nghiệm nguyên với  x,y là số nguyên tố.

Vậy pt vô nghiệm hay S={rỗng}