Question

[Trần Thảo Anh]

Tìm các số tự nhiên x;y thỏa mãn \(|19x+5y|+1975=|19y+5x|+2014^x\)

cảm ơn!!! 

Answer 1

[Nguyễn Hưng Phát]

Ta có:\(\left|19x+5y\right|+1975=\left|19y+5x\right|+2014^x\)

\(\Leftrightarrow\left|19x+5y\right|-\left|19y+5x\right|=2014^x-1975\)

Vì \(19x+5y-\left(19y+5x\right)=19x+5y-19y-5x=14x-14y⋮2\)

nên \(\left|19x+5y\right|-\left|19y+5x\right|⋮2\)\(\Rightarrow2014^x-1975⋮2\)

\(\Rightarrow2014^x\) lẻ\(\Rightarrow x=0\)

Thay x=0 vào ta có:\(\left|5y\right|-\left|19y\right|=-1974\)

Vì \(y\ge0\) nên \(\hept{\begin{cases}5y\ge0\\19y\ge0\end{cases}}\)\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}\left|5y\right|=5y\\\left|19y\right|=19y\end{cases}}\)\(\Rightarrow5y-19y=-1974\)

\(\Rightarrow-14y=-1974\Rightarrow y=141\)

Vậy x=0,y=141 thỏa mãn

Answer 2

[zZz Cool Kid_new zZz]

\(\left|19x+5y\right|+1975=\left|19y+5x\right|+2014^x\)

\(\Leftrightarrow1975-2014^x=\left|19y+5x\right|-\left|19x+5y\right|\)

\(\Leftrightarrow1975-2014^x=\left(\left|19y+5x\right|+19y+5x\right)-\left(\left|19x+5y\right|+19x+5y\right)-14\left(x+y\right)\left(1\right)\)

Ta có bổ đề:\(\left|a\right|+a\) là số chẵn với \(\forall a\in Z\)

\(\Rightarrow\left(1\right)\)chẵn/\(\Rightarrow2014^x\) lẻ \(\Rightarrow x=0\)

Thay \(x=0\) vào \(pt\) và kết hợp với \(x,y\in N\) thì tìm được \(x=0;y=141\)