Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a,
\(pt\Leftrightarrow\left(x-1-2\sqrt{x-1}+1\right)+\left(y-2-4\sqrt{y-2}+4\right)+\left(z-3-6\sqrt{z-3}+9\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x-1}-1\right)^2+\left(\sqrt{y-2}-2\right)^2+\left(\sqrt{z-3}-3\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\sqrt{x-1}-1=0\\\sqrt{y-2}-2=0\\\sqrt{z-3}-3=0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=2\\y=6\\z=12\end{cases}}\)
a) DK: x>=2; y>=3; z>=5
\(\Leftrightarrow\left(x-2-2\sqrt{x-2}+1\right)+\left(y-3-2\sqrt{y-3}\cdot2+4\right)+\left(z-5-2\sqrt{z-5}\cdot3+9\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x-2}-1\right)^2+\left(\sqrt{y-3}-2\right)^2+\left(\sqrt{z-5}-3\right)^2=0\)(*)
VT(*) >= 0 với mọi x;y;z TMĐK nên để thỏa mãn (*) thì:
\(\hept{\begin{cases}\sqrt{x-2}=1\\\sqrt{y-3}=2\\\sqrt{z-5}=3\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=3\\y=7\\z=14\end{cases}}}\)
b) x;y;z là nghiệm của PT: \(\sqrt{x}+\sqrt{y-1}+\sqrt{z-2}=\frac{x+y+z}{2}\left(1\right)\) (1)=> đk: x >=0; y >= 1 ; z >= 2.
Ta có:
- \(\left(\sqrt{x}-1\right)^2\ge0\Rightarrow x-2\sqrt{x}+1\ge0\Rightarrow\sqrt{x}\le\frac{x+1}{2}\)(a)
- Tương tự: \(\sqrt{y-1}\le\frac{y-1+1}{2}=\frac{y}{2}\) (b)
- và: \(\sqrt{z-2}\le\frac{z-2+1}{2}=\frac{z-1}{2}\) (c)
- Do đó: \(\sqrt{x}+\sqrt{y-1}+\sqrt{z-2}=\frac{x+1+y+z-1}{2}=\frac{x+y+z}{2}\)hay VT(1) <= VP(1) với mọi x;y;z.
Vậy để (1) thỏa mãn thì dấu "=" xảy ra hay các BĐT (a); (b); (c) xảy ra. Khi đó, x = 1; y = 2; z = 3
\(x+y+z+8=2\sqrt[]{x-1}+4\sqrt[]{y-2}+6\sqrt[]{z-3}\left(1\right)\)
Áp dụng Bđt Bunhiacopxki :
\(\left(2\sqrt[]{x-1}+4\sqrt[]{y-2}+6\sqrt[]{z-3}\right)^2\le\left(2^2+4^2+6^2\right)\left(x-1+y-2+z-3\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(2\sqrt[]{x-1}+4\sqrt[]{y-2}+6\sqrt[]{z-3}\right)^2\le56^{ }\left(x+y+z-6\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(2\sqrt[]{x-1}+4\sqrt[]{y-2}+6\sqrt[]{z-3}\right)^2\le56^{ }\left(x+y+z+8\right)-784\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi
\(\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y-2}{4}=\dfrac{z-3}{8}=\dfrac{x+y+z-6}{14}\left(2\right)\)
Đặt \(t=x+y+z+8\)
\(\left(1\right)\Leftrightarrow t^2=56t-784\)
\(\Leftrightarrow t^2-56t+784=0\)
\(\Leftrightarrow\left(t-28\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow t=28\)
\(\Leftrightarrow x+y+z+8=28\)
\(\Leftrightarrow x+y+z-6=14\)
\(\left(2\right)\Leftrightarrow\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y-2}{4}=\dfrac{z-3}{8}=1\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x-1=1.2=2\\y-2=1.4=4\\z-2=1.8=8\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=3\\y=6\\z=10\end{matrix}\right.\) thỏa mãn đề bài
\(pt< =>\left(x-1-2\sqrt{x-1}+1\right)+\left(y-3-4\sqrt{y-3}+4\right)+\left(z-5-6\sqrt{z-5}+9\right)=0\)
\(< =>\left(\sqrt{x-1}-1\right)^2+\left(\sqrt{y-3}-2\right)^2+\left(\sqrt{z-5}-3\right)^2=0\)
..............................
A^2 + B^2 = 0 <=> A= 0 và B=0
Ta có : \(x+y+z+5=2\sqrt{x-1}+4\sqrt{y-3}+6\sqrt{z-5}\left(DK:x\ge1;y\ge3;z\ge5\right)\)
\(\Leftrightarrow\left[\left(x-1\right)-2\sqrt{x-1}+1\right]+\left[\left(y-3\right)-4\sqrt{y-3}+4\right]+\left[\left(z-5\right)-6\sqrt{z-5}+9\right]=0\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x-1}-1\right)^2+\left(\sqrt{y-3}-2\right)^2+\left(\sqrt{z-5}-3\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\left(\sqrt{x-1}-1\right)^2=0\\\left(\sqrt{y-3}-2\right)^2=0\\\left(\sqrt{z-5}-3\right)^2=0\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}x=2\\y=7\\z=14\end{cases}}\)(TMDK)
Vậy nghiệm của phương trình là : \(\left(x;y;z\right)=\left(2;7;14\right)\)