LD
0
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
TN
2
18 tháng 2 2018
dự đoán của chúa Pain a=b=3
áp dụng BDT cô si dạng " Senpou" ta có
lưu ý dạng " Senpou" ko có trong sách giáo khoa
và chỉ được sử dùng khi trong tình thế nguy cấp như . thể hiện . tán gái ...., và chỉ lừa được những thằng ngu :)
ko nên dùng trc mặt thầy cô giáo
\(27=a^2+b^2+ab\ge3\sqrt[3]{a^2b^2ab}=3ab.\)
\(a^3+b^3+3^3\ge3\sqrt[3]{a^3b^3.3^3}=9ab\)
mà \(3ab\le27\Leftrightarrow9ab\le27.3=81\)
suy ra
\(a^3+b^3+3^3\ge81\Leftrightarrow a^3+b^3\ge81-27=54\)
dấu = xảy ra khi a=b=3
B
1
AH
Akai Haruma
Giáo viên
16 tháng 4 2023
Lời giải:
Áp dụng BĐT Cô-si:
$a^2+b^2\geq 2\sqrt{a^2b^2}=2|ab|\geq 2ab$
$b^2+c^2\geq 2bc$
$c^2+a^2\geq 2ac$
Cộng theo vế các BĐT trên ta được:
$2(a^2+b^2+c^2)\geq 2(ab+bc+ac)$
$\Rightarrow ab+bc+ac\leq a^2+b^2+c^2=27$
Vậy GTLN của $P$ là $27$
NH
4
YN
14 tháng 5 2021
\(\text{Đặt}\)\(x=a+b\ge2\)
\(P=\frac{a^2+b^2+5}{a+b+3}=\frac{a^2+b^2+2.1+3}{a+b+3}=\frac{a^2+b^2+2ab+3}{a+b+3}=\frac{\left(a+b\right)^2+3}{a+b+3}=\frac{x^2+3}{x+3}\)
\(\Rightarrow P-\frac{7}{5}=\frac{x^2+3}{x+3}-\frac{7}{5}=\frac{\left(5x^2+15\right)-\left(7x+21\right)}{x+3}=\frac{\left(x-2\right).\left(5x+3\right)}{x+3}\ge0\)
\(\text{Vậy giá trị nhỏ nhất của}\)\(P=\frac{7}{5}\Rightarrow x=2\)
\(\Rightarrow a+b=2;ab=1\)
\(\Rightarrow a=b=1\)
15 tháng 5 2021
\(P=a^2+b^2+\frac{5}{a+b+3}\left(a,b>0\right)\)..
\(P=\left(\frac{a^2}{1}+\frac{b^2}{1}+\frac{5^2}{a+b+3}\right)-\frac{20}{a+b+3}\).
Trước hết, ta chứng minh được:
\(\frac{x^2}{m}+\frac{y^2}{n}+\frac{z^2}{p}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{m+n+p}\)với \(x,y,z\in R;m,n,p>0\)\(\left(1\right)\)(tự chứng minh).
Dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow\frac{x}{m}=\frac{y}{n}=\frac{z}{p}\).
Áp dụng bất đẳng thức \(\left(1\right)\)với \(a,b>0\), ta được:
\(\frac{a^2}{1}+\frac{b^2}{1}+\frac{5^2}{a+b+3}\ge\frac{\left(a+b+5\right)^2}{1+1+a+b+3}=\frac{\left(a+b+5\right)^2}{a+b+5}\)\(=a+b+5\).
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+\frac{5^2}{a+b+3}-\frac{20}{a+b+3}\ge a+b+5-\frac{20}{a+b+3}\).
\(\Leftrightarrow P\ge a+b+5-\frac{20}{a+b+3}\left(2\right)\).
Dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow\frac{a}{1}=\frac{b}{1}=\frac{5}{a+b+3}=\frac{a+b+5}{1+1+a+b+3}=1\).
\(\Leftrightarrow a=b=1\).
Vì \(a,b>0\)nên áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2 số dương, ta được:
\(a+b\ge2\sqrt{ab}\).
\(\Leftrightarrow a+b\ge2.\sqrt{1}=2.1=2\)(vì \(ab=1\)).
\(\Leftrightarrow a+b+3\ge5\).
\(\Rightarrow\frac{1}{a+b+3}\le\frac{1}{5}\).
\(\Rightarrow\frac{-1}{a+b+3}\ge-\frac{1}{5}\).
\(\Leftrightarrow\frac{-20}{a+b+3}\ge\frac{-20}{5}=-4\left(3\right)\).
Dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=1\).
Ta lại có: \(a+b\ge2\)(chứng minh trên).
\(\Leftrightarrow a+b+5\ge7\left(4\right)\).
Dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=1\).
Từ \(\left(3\right)\)và \(\left(4\right)\), ta được:
\(a+b+5-\frac{20}{a+b+3}\ge7-4=3\left(5\right)\).
Từ \(\left(2\right)\)và \(\left(5\right)\), ta được:
\(P\ge3\).
Dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=1\).
Vậy \(minP=3\Leftrightarrow a=b=1\).
CA
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
20 tháng 6 2021
\(P=2\left(a+b+c\right)+\dfrac{3}{a+b+c}=\dfrac{a+b+c}{12}+\dfrac{3}{a+b+c}+\dfrac{23}{12}\left(a+b+c\right)\)
\(P\ge2\sqrt{\dfrac{3\left(a+b+c\right)}{12\left(a+b+c\right)}}+\dfrac{23}{12}.6=\dfrac{25}{2}\)
\(P_{min}=\dfrac{25}{2}\) khi \(a=b=c=2\)