Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\int\frac{1+sin2x+cos2x}{sinx+cosx}dx\)
\(=\int\frac{sin^2x+cos^2x+2sinxcosx+cos^2x-sin^2x}{sinx+cosx}dx\)
\(=\int\frac{\left(sinx+cosx\right)^2+\left(cosx-sinx\right)\left(cosx+sinx\right)}{sinx+cosx}dx\)
\(=\int\left(sinx+cosx+cosx-sinx\right)dx=\int2cosxdx=2sinx\)
Chọn A.
Gọi 2a là cạnh của hình lập phương thì hình cầu nội tiếp hình lập phương đó có bán kính r = a.
Suy ra:
Câu 5:
Tương tự câu 4, ta thấy tâm $I$ của khối cầu ngoại tiếp $S.ABCD$ là trung điểm $SC$
Theo định lý Pitago:
$SA^2=SB^2-AB^2=(a\sqrt{3})^2-a^2=2a^2$
$AC^2=AB^2+BC^2=a^2+a^2=2a^2$
$SC=\sqrt{SA^2+AC^2}=\sqrt{2a^2+2a^2}=2a$
Do đó: $R=SI=IC=\frac{SC}{2}=a$
Thể tích khối cầu ngoại tiếp S.ABCD là:
$V=\frac{4}{3}\pi R^3=\frac{4}{3}\pi a^3$
Đáp án A
Câu 4:
$AC=\sqrt{AB^2+AD^2}=2a$
$(SC, (ABCD))=\widehat{SCA}=60^0$
$\Rightarrow \frac{SA}{AC}=\tan \widehat{SCA}=\tan 60^0=\sqrt{3}$
$\Rightarrow SA=\sqrt{3}.AC=2\sqrt{3}a$
$SC=\sqrt{SA^2+AC^2}=\sqrt{(2\sqrt{3}a)^2+(2a)^2}=4a$
Gọi $I$ tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. $IS=IA=IC$ nên $I$ là tâm ngoại tiếp tam giác $SAC$
$\Rightarrow I$ là trung điểm $SC$.
Bán kính $IS=IC=\frac{AC}{2}=\frac{4a}{2}=2a$
Đáp án A
4.
Gọi M là trung điểm CD, qua M kẻ đường thẳng song song AB
Gọi N là trung điểm AB, qua N kẻ đường thẳng song song AM
Gọi giao của 2 đường thẳng trên là O \(\Rightarrow\) O là tâm (S)
\(\Rightarrow AO=R=\sqrt{3}\)
Đặt \(AB=x;AC=y;AD=z\)
\(AN=\frac{AB}{2}=\frac{x}{2}\) ; \(AM=\frac{CD}{2}=\frac{1}{2}\sqrt{AC^2+AD^2}=\frac{1}{2}\sqrt{y^2+z^2}\)
Áp dụng Pitago: \(AO^2=AN^2+AM^2\)
\(\Rightarrow\frac{x^2}{4}+\frac{1}{4}\left(y^2+z^2\right)=3\Rightarrow x^2+y^2+z^2=12\)
\(V=\frac{1}{3}xyz\le\frac{1}{3}\left(\frac{x+y+z}{3}\right)^3\le\frac{1}{3}\left(\frac{\sqrt{3\left(x^2+y^2+z^2\right)}}{3}\right)^3=\frac{8}{3}\)
2.
Gọi O là tâm đáy \(\Rightarrow SO\perp\left(ABCD\right)\)
\(AC=a\sqrt{2}\Rightarrow AO=\frac{1}{2}AC=\frac{a\sqrt{2}}{2}\)
\(SO=\sqrt{SA^2-OA^2}=\frac{a}{2}\)
Áp dụng công thức từ câu 1:
\(R=\frac{SA^2}{2SO}=\frac{3a}{4}\)
3.
\(BC=AB\sqrt{2}=2a\)
Gọi H là hình chiếu của S lên (ABC) \(\Rightarrow\) H đồng thời là tâm đường tròn ngoại tiếp đáy
\(\Rightarrow\) H là trung điểm BC
\(\Rightarrow\widehat{SAH}=60^0\Rightarrow SH=AH.tan60^0=\frac{BC}{2}tan60^0=a\sqrt{3}\)
\(SA=\frac{AH}{cos60^0}=2a\)
\(\Rightarrow R=\frac{SA^2}{2SH}=\frac{2\sqrt{3}a}{3}\)
\(S=4\pi R^2=\frac{16\pi a^2}{3}\)
5.
Gọi M là trung điểm BC \(\Rightarrow AM\perp BC\)
\(\Rightarrow BC\perp\left(A'AM\right)\)
\(\Rightarrow\widehat{A'MA}\) là góc giữa (A'BC) và (ABC)
\(\Rightarrow\widehat{A'MA}=60^0\)
\(AM=\frac{a\sqrt{3}}{2}\Rightarrow A'A=AM.tan60^0=\frac{3a}{2}\)
\(B=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\Rightarrow V=B.A'A=\frac{3\sqrt{3}}{8}a^3\)
1.
\(V=Bh\)
2.
\(B=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\Rightarrow V=Bh=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}.a\sqrt{6}=\frac{3\sqrt{2}}{4}a^3\)
3.
\(B=\frac{1}{2}\left(a\sqrt{2}\right)^2=a^2\Rightarrow V=Bh=a^2.5a=5a^3\)
4.
\(h=\sqrt{\left(2a\right)^2-\left(a\sqrt{3}\right)^2}=a\)
\(B=\frac{\left(a\sqrt{3}\right)^2\sqrt{3}}{4}=\frac{3\sqrt{3}}{4}a^2\)
\(V=Bh=\frac{3\sqrt{3}}{4}a^3\)
Chọn B
Gọi a là cạnh của hình lập phương ta có hình trụ tròn xoay ngoại tiếp hình lập phương đó có bán kính đáy r = (a 2 )/2 và chiều cao h = a.
Suy ra:
1.
Gọi chóp S.ABCD với I là tâm đáy
\(V=\frac{1}{3}SI.S_{ABCD}=\frac{1}{3}SI.a^2=\frac{a^3\sqrt{6}}{6}\)
\(\Rightarrow SI=\frac{a\sqrt{6}}{2}\)
\(IA=\frac{1}{2}AC=\frac{a\sqrt{2}}{2}\Rightarrow SA=\sqrt{SI^2+IA^2}=a\sqrt{2}\)
2.
Đặt \(BC=x\)
Gọi H là hình chiếu của S lên đáy \(\Rightarrow\) H là trung điểm BC
\(\Rightarrow SH=\sqrt{SC^2-HC^2}=\sqrt{4a^2-\frac{x^2}{4}}\)
\(S_{ABC}=\frac{1}{2}AB.AC=\frac{1}{2}a\sqrt{x^2-a^2}\)
\(\Rightarrow V=\frac{1}{6}a\sqrt{\left(x^2-a^2\right)\left(4a^2-\frac{x^2}{4}\right)}=\frac{1}{3}a\sqrt{\left(\frac{x^2}{4}-\frac{a^2}{4}\right)\left(4a^2-\frac{x^2}{4}\right)}\)
\(V\le\frac{a}{6}\left(\frac{x^2}{4}-\frac{a^2}{4}+4a^2-\frac{x^2}{4}\right)=\frac{5a^3}{8}\)
11.
Thay tọa độ vào coi cái nào thỏa mãn thôi, câu này chắc ko vấn đề
12.
Gọi cạnh của hình lập phương là x
\(\Rightarrow\) Đường chéo bằng \(x\sqrt{3}\)
\(\Rightarrow x\sqrt{3}=2\sqrt{3}a\Rightarrow x=2a\)
\(\Rightarrow S_{tp}=6x^2=24a^2\)
13.
\(R=\frac{x}{2}=a\sqrt{2}\Rightarrow V=\frac{4}{3}\pi R^3=\frac{8\sqrt{2}}{3}\pi a^3\)
(Bán kính mặt cầu nội tiếp lập phương bằng 1 nửa cạnh. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp lập phương bằng \(\frac{x\sqrt{3}}{2}\) với x là cạnh)
14.
Phương trình hoành độ giao điểm: \(x^3-3x=x\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-2\\x=0\\x=2\end{matrix}\right.\)
Diện tích:
\(S=\int\limits^0_{-2}\left(x^3-3x-x\right)dx+\int\limits^2_0\left(x-x^3+3x\right)dx=8\)
15.
\(v'\left(t\right)=a\left(t\right)=0\Rightarrow3t^2\left(2-t\right)=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}t=0\\t=2\end{matrix}\right.\)
Bảng biến thiên \(v\left(t\right)\)
Từ BBT ta thấy \(v\left(t\right)_{max}\) tại \(t=2\)
8.
\(\overrightarrow{AB}=\left(3;3;1\right)\Rightarrow\) đường thẳng AB nhận (3;3;1) là 1 vtcp
\(\overrightarrow{OB}=\left(4;1;1\right)\Rightarrow OH=d\left(O;AB\right)=\frac{\left|\left[\overrightarrow{OB};\overrightarrow{AB}\right]\right|}{\left|\overrightarrow{AB}\right|}=\frac{\sqrt{2^2+1^2+\left(-9\right)^2}}{\sqrt{3^2+3^2+1^2}}=\sqrt{\frac{86}{19}}\)
9.
\(\int\limits^3_2\frac{5x+12}{x^2+5x+6}dx=\int\limits^3_2\left(\frac{2}{x+2}+\frac{3}{x+3}\right)dx=\left(2ln\left(x+2\right)+3ln\left(x+3\right)\right)|^3_2\)
\(=3ln6-2ln4-ln5=-4ln2-ln5+3ln6\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=-4\\b=-1\\c=3\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow S=...\)
10.
\(\Rightarrow I=log_a6=\frac{1}{log_6a}=\frac{1}{2}\)
Đáp án C
Phương pháp:
Thể tích khối cầu có bán kính R là V = 4 3 πR 3
Cách giải:
Bán kính của khối cầu tiếp xúc với tất cả các cạnh của hình lập phương cạnh 2 2 chính là nửa độ dài đường chéo các mặt của hình lập phương và bằng: