Question

[Nguyễn Thị Xuân Mai]

Tam giác ABC nhọn AB <AC các đường cao BD, CE cắt nhau tại H                                   a, chứng minh tứ giác ADHE nội tiếp.                                       b, gọi M là trung điểm của BC , de cắt BC tại N , ah cắt BC tại k chứng minh góc dek = góc DMC và HN vuông góc với AB

Answer 1

[Bronze Award]

Tham khảo:

a. Để chứng minh tứ giác \(ADHE\) nội tiếp, ta cần chứng minh rằng góc \(DHE\) bằng \(180^\circ\) - tức là góc \(DHE\) là góc ngoài của tam giác \(ABC\) tại đỉnh \(A\), vì khi đó tứ giác \(ADHE\) sẽ nội tiếp. 

Xét góc \(DHE\), ta thấy rằng:
\[ \angle DHE = \angle B + \angle C \]
Do \(BD\) và \(CE\) là đường cao của tam giác \(ABC\), nên:
\[ \angle B = \angle EHB \]
\[ \angle C = \angle HDC \]
Vậy:
\[ \angle DHE = \angle EHB + \angle HDC \]
\[ \angle DHE = (180^\circ - \angle B) + (180^\circ - \angle C) \]
\[ \angle DHE = 360^\circ - (\angle B + \angle C) \]
Nhưng ta biết rằng tổng các góc của tam giác \(ABC\) là \(180^\circ\), nên:
\[ \angle DHE = 360^\circ - 180^\circ = 180^\circ \]
Điều này chứng minh tứ giác \(ADHE\) là tứ giác nội tiếp.

b. Để chứng minh \( \angle DEK = \angle DMC \), ta sử dụng tính chất của tứ giác \(ADHE\) nội tiếp đã chứng minh ở câu (a). 

Do tứ giác \(ADHE\) là tứ giác nội tiếp, nên:
\[ \angle DHE = 180^\circ - \angle DAE \]
Nhưng ta cũng biết rằng:
\[ \angle DAE = \angle DMC \]
Vậy:
\[ \angle DHE = 180^\circ - \angle DMC \]
\[ \angle DHE + \angle DMC = 180^\circ \]

Giả sử \(HN\) vuông góc với \(AB\) tại \(N\), với \(M\) là trung điểm của \(BC\), thì \(HM\) cũng là đường trung bình của tam giác \(ABC\), nên:
\[ \angle HMC = \angle HNC = 90^\circ \]

Vậy, chúng ta có:
\[ \angle DHE + \angle DMC = 180^\circ = \angle HMC + \angle HNC \]

Vậy, điều phải chứng minh là góc \(DEK\) bằng góc \(DMC\).

Answer 2

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

a: Xét tứ giác ADHE có \(\widehat{ADH}+\widehat{AEH}=90^0+90^0=180^0\)

nên ADHE là tứ giác nội tiếp

b: Xét ΔABC có

BD,CE là các đường cao

BD cắt CE tại H

Do đó: H là trực tâm của ΔBAC

=>AH\(\perp\)BC tại K

Xét tứ giác BEHK có \(\widehat{BEH}+\widehat{BKH}=90^0+90^0=180^0\)

nên BEHK là tứ giác nội tiếp

Xét tứ giác BEDC có \(\widehat{BEC}=\widehat{BDC}=90^0\)

nên BEDC là tứ giác nội tiếp

Ta có: \(\widehat{DEH}=\widehat{DAH}\)(AEHD nội tiếp)

\(\widehat{KEH}=\widehat{KBH}\)(BEHK nội tiếp)

mà \(\widehat{DAH}=\widehat{KBH}\left(=90^0-\widehat{DCB}\right)\)

nên \(\widehat{DEH}=\widehat{KEH}\)

=>EC là phân giác của góc DEK

=>\(\widehat{DEK}=2\cdot\widehat{HED}\)

mà \(\widehat{HED}=\widehat{HBC}\)(BEDC nội tiếp)

nên \(\widehat{DEK}=\widehat{HBC}\)(1)

ΔDBC vuông tại D

mà DM là đường trung tuyến

nên DM=MB=MC

Xét ΔMDB có \(\widehat{DMC}\) là góc ngoài tại D

nên \(\widehat{DMC}=\widehat{MBD}+\widehat{MDB}=2\cdot\widehat{MBD}\left(2\right)\)

Từ (1),(2) suy ra \(\widehat{DEK}=\widehat{DMC}\)