Question

[phương phạm]

SOS tìm x , y nguyên biết 2020x³ + 2021x = y²⁰²² + 2023

Answer 1

[Akai Haruma]

Lời giải:

$2020\equiv 1\pmod 3\Rightarrow 2020x^3\equiv x^3\pmod 3$

$2021\equiv -1\pmod 3\Rightarrow 2021x\equiv -x\pmod 3$
$\Rightarrow 2020x^3+2021x\equiv x^3-x\pmod 3$
Mà $x^3-x=x(x^2-1)=x(x-1)(x+1)$ là tích 3 số nguyên liên tiếp nên $x^3-x\equiv 0\pmod 3$

$\Rightarrow 2020x^3+2021x\equiv 0\pmod 3(*)$

Mặt khác:
$y^{2022}=(y^{1011})^2$ là scp nên $y^{2022}\equiv 0,1\pmod 3$

$2023\equiv 1\pmod 3$

$\Rightarrow y^{2022}+2023\equiv 1,2\pmod 3(**)$

Từ $(*); (**)\Rightarrow 2020x^3+2021x\neq y^{2022}+2023$ với mọi $x,y$ nguyên.

Do đó không tồn tại $x,y$ thỏa đề.

Answer 2

[Akai Haruma]

Lời giải:

$2020\equiv 1\pmod 3\Rightarrow 2020x^3\equiv x^3\pmod 3$

$2021\equiv -1\pmod 3\Rightarrow 2021x\equiv -x\pmod 3$
$\Rightarrow 2020x^3+2021x\equiv x^3-x\pmod 3$
Mà $x^3-x=x(x^2-1)=x(x-1)(x+1)$ là tích 3 số nguyên liên tiếp nên $x^3-x\equiv 0\pmod 3$

$\Rightarrow 2020x^3+2021x\equiv 0\pmod 3(*)$

Mặt khác:
$y^{2022}=(y^{1011})^2$ là scp nên $y^{2022}\equiv 0,1\pmod 3$

$2023\equiv 1\pmod 3$

$\Rightarrow y^{2022}+2023\equiv 1,2\pmod 3(**)$

Từ $(*); (**)\Rightarrow 2020x^3+2021x\neq y^{2022}+2023$ với mọi $x,y$ nguyên.

Do đó không tồn tại $x,y$ thỏa đề.