Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Bài này hơi dài nên bạn bấn vào đây để xem lời giải Giúp tôi giải toán - Hỏi đáp, thảo luận về toán học - Học toán với OnlineMath
\(A=\dfrac{2008^{2008}+1}{2008^{2009}+1}\)
\(2008\cdot A=\dfrac{2008^{2009}+2008}{2008^{2009}+1}\)
\(=\dfrac{2008^{2009}+1+2007}{2008^{2009}+1}\)
\(=1+\dfrac{2007}{2008^{2009}+1}\)
\(B=\dfrac{2008^{2007}+1}{2008^{2008}+1}\)
\(2008\cdot B=\dfrac{2008^{2008}+2008}{2008^{2008}+1}\)
\(=\dfrac{2008^{2008}+1+2007}{2008^{2008}+1}\)
\(=1+\dfrac{2007}{2008^{2008}+1}\)
Ta có: \(2008^{2009}+1>2008^{2008}+1\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{2008^{2009}+1}< \dfrac{1}{2008^{2008}+1}\)
\(\Rightarrow\dfrac{2007}{2008^{2009}+1}< \dfrac{2007}{2008^{2008}+1}\)
\(\Rightarrow1+\dfrac{2007}{2008^{2009}+1}< 1+\dfrac{2007}{2008^{2008}+1}\)
hay \(A < B\)
#\(Toru\)
a) Áp dụng \(\frac{a}{b}< 1\Leftrightarrow\frac{a}{b}< \frac{a+m}{b+m}\) (a;b;m \(\in\) N*)
Ta có:
\(A=\frac{2008^{2008}+1}{2008^{2009}+1}< \frac{2008^{2008}+1+2007}{2009^{2009}+1+2007}\)
\(A< \frac{2008^{2008}+2008}{2008^{2009}+2008}\)
\(A< \frac{2008.\left(2008^{2007}+1\right)}{2008.\left(2008^{2008}+1\right)}=\frac{2008^{2007}+1}{2008^{2008}+1}=B\)
=> A < B
b) Áp dụng \(\frac{a}{b}>1\Leftrightarrow\frac{a}{b}>\frac{a+m}{b+m}\) (a;b;m \(\in\) N*)
Ta có:
\(N=\frac{100^{101}+1}{100^{100}+1}>\frac{100^{101}+1+99}{100^{100}+1+99}\)
\(N>\frac{100^{101}+100}{100^{100}+100}\)
\(N>\frac{100.\left(100^{100}+1\right)}{100.\left(100^{99}+1\right)}=\frac{100^{100}+1}{100^{99}+1}=M\)
=> M > N
Trước hết ta tính tổng sau, với các số tự nhiên a, n đều lớn hơn 1.
\(S_n=\frac{1}{a}+\frac{1}{a^2}+...+\frac{1}{a^n}\)
Ta có: \(\left(a-1\right)S_n=aS_n-S_n\)
\(=\left(1+\frac{1}{a}+\frac{1}{a^2}+...+\frac{1}{a^{n-1}}\right)-\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{a^2}+...+\frac{1}{a^{n-1}}+\frac{1}{a^n}\right)\)
\(=1-\frac{1}{a^n}< 1\Rightarrow S_n< \frac{1}{a-1}\left(1\right)\)
Áp dụng BĐT ( 1 ) cho \(a=2008\)và mọi n bằng 2 , 3 , ..... , 2007, ta được:
\(B=\frac{1}{2008}+\left(\frac{1}{2008}+\frac{1}{2008^2}\right)^2+...+\left(\frac{1}{2008}+\frac{1}{2008^2}+...+\frac{1}{2008^{2007}}\right)^{2007}< \frac{1}{2007}\)
\(+\left(\frac{1}{2007}\right)^2+...+\left(\frac{1}{2007}\right)^{2007}\left(2\right)\)
Lại áp dụng BĐT ( 1 ) cho \(a=2007\)và \(n=2007\), ta được:
\(\frac{1}{2007}+\frac{1}{2007^2}+...+\frac{1}{2007^{2007}}< \frac{1}{2006}=A\left(3\right)\)
Từ ( 2 ) và ( 3 ) => \(B< A.\)
ý, nếu không được dùng cách kia thì làm cách này cho chắc đi :v
Ta có: \(2008A=\frac{2008\left(2008^{2008}+1\right)}{2008^{2009}+1}=\frac{2008^{2009}+2008}{2008^{2009}+1}=\frac{\left(2008^{2009}+1\right)+2007}{2008^{2009}+1}=1+\frac{2007}{2008^{2009}+1}\)
Lại có: \(2008B=\frac{2008\left(2008^{2007}+1\right)}{2008^{2008}+1}=\frac{2008^{2008}+2008}{2008^{2008}+1}=\frac{\left(2008^{2008}+1\right)+2007}{2008^{2008}+1}=1+\frac{2007}{2008^{2008}+1}\)
Vì 2008 < 2009 \(\Rightarrow2008^{2008}< 2008^{2009}\)\(\Rightarrow2008^{2008}+1< 2008^{2009}+1\)\(\Rightarrow\frac{2007}{2008^{2008}+1}>\frac{2007}{2008^{2009}+1}\)\(\Rightarrow1+\frac{2007}{2008^{2008}+1}>1+\frac{2007}{2008^{2009}+1}\)\(\Rightarrow2008B>2008A\)\(\Rightarrow B>A\)
Vì A <1 , B < 1
Nên ta có: \(A=\frac{2008^{2008}+1}{2008^{2009}+1}< \frac{2008^{2008}+1+2007}{2008^{2009}+1+2007}=\frac{2008^{2008}+2008}{2008^{2009}+2008}=\frac{2008\left(2008^{2007}+1\right)}{2008\left(2008^{2008}+1\right)}=\frac{2008^{2007}+1}{2008^{2008}+1}=B\)