Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
ta có : a+b+c=0=>a+b=-c ; b+c=-a ; a+c=-b
ta có: M= \(\frac{2ab}{a^2+\left(b+c\right)\left(b-c\right)}+\frac{2bc}{b^2+\left(c+a\right)\left(c-a\right)}+\frac{2ca}{c^2+\left(a+b\right)\left(a-b\right)}\)
M=\(\frac{2ab}{a^2-a\left(b-c\right)}+\frac{2bc}{b^2-b\left(c-a\right)}+\frac{2ca}{c^2-c\left(a-b\right)}\)
M=\(\frac{2ab}{a\left(a-b+c\right)}+\frac{2bc}{b\left(b-c+a\right)}+\frac{2ca}{c\left(c-a+b\right)}\)
M=\(\frac{2ab}{-ab+\left(a+c\right)}+\frac{2bc}{-bc+\left(a+b\right)}+\frac{2ac}{-ac+\left(b+c\right)}\)
M=\(\frac{2ab}{-2ab}+\frac{2bc}{-2bc}+\frac{2ca}{-2ca}\)
M=-1-1-1=-3
Vậy với a+b+c=0 thì M=-3
a) Ta có : \(\frac{a+b}{c}=\frac{b+c}{a}=\frac{c+a}{b}\Leftrightarrow\frac{a+b}{c}+1=\frac{b+c}{a}+1=\frac{c+a}{b}+1\)
\(\Rightarrow\frac{a+b+c}{a}=\frac{a+b+c}{b}=\frac{a+b+c}{c}\)
- TH1: Nếu a + b + c = 0 \(\Rightarrow P=\frac{a+b}{b}.\frac{b+c}{c}.\frac{a+c}{a}=\frac{-c}{b}.\frac{-a}{c}.\frac{-b}{a}=\frac{-\left(abc\right)}{abc}=-1\)
- TH2 : Nếu \(a+b+c\ne0\) \(\Rightarrow a=b=c\)
\(\Rightarrow P=\left(1+1\right)\left(1+1\right)\left(1+1\right)=8\)
b) Đề bài sai ^^
Đặt \(P=\frac{a-b}{c}+\frac{b-c}{a}+\frac{c-a}{b}\) ; \(Q=\frac{c}{a-b}+\frac{a}{b-c}+\frac{b}{c-a}\)
Ta có : \(P=\frac{a-b}{c}+\frac{b-c}{a}+\frac{c-a}{b}=\frac{ab\left(a-b\right)+bc\left(b-c\right)+ac\left(c-a\right)}{abc}\)
Xét tử số của P : \(ab\left(a-b\right)+bc\left(b-c\right)+ac\left(c-a\right)=ab\left[-\left(b-c\right)-\left(c-a\right)\right]+bc\left(b-c\right)+ac\left(c-a\right)\)
\(=-ab\left(b-c\right)-ab\left(c-a\right)+bc\left(b-c\right)+ac\left(c-a\right)\)
\(=b\left(b-c\right)\left(c-a\right)+a\left(c-a\right)\left(c-b\right)=\left(b-c\right)\left(c-a\right)\left(b-a\right)\)
\(\Rightarrow P=\frac{\left(b-c\right)\left(c-a\right)\left(b-a\right)}{abc}\)
Lại có : \(Q=\frac{c}{a-b}+\frac{a}{b-c}+\frac{b}{c-a}\). Đặt \(a-b=x\); \(b-c=y\); \(c-a=z\)
Suy ra được : \(\hept{\begin{cases}x-y=a-b-b+c=a+c-2b=-3b\\y-z=b-c-c+a=a+b-2c=-3c\\z-x=c-a+b-a=b+c-2a=-3a\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}b=-\frac{\left(x-y\right)}{3}\\c=-\frac{\left(y-z\right)}{3}\\a=-\frac{\left(z-x\right)}{3}\end{cases}}}\)
Ta có : \(Q=\frac{-\left(\frac{y-z}{3}\right)}{x}+\frac{-\left(\frac{z-x}{3}\right)}{y}+\frac{-\left(\frac{x-y}{3}\right)}{z}=-\frac{1}{3}.\left(\frac{y-z}{x}+\frac{z-x}{y}+\frac{x-y}{z}\right)\)
\(=-\frac{1}{3}\left(\frac{yz\left(y-z\right)+xz\left(z-x\right)+yx\left(x-y\right)}{xyz}\right)\)
Đến đây rút gọn tương tự với P được: \(Q=\frac{\left(x-z\right)\left(x-y\right)\left(z-y\right)}{3xyz}=\frac{\left(3a\right).\left(-3b\right).\left(3c\right)}{3\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}\Rightarrow Q=\frac{-9abc}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}\)
Vậy : \(PQ=\frac{\left(b-c\right)\left(c-a\right)\left(b-a\right)}{abc}.\frac{-9abc}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}=9\)
Vậy ta có điều phải chứng minh.
\(\)
1) \(M=a^2b^2c^2\left(\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}\right)\)
Em chú ý bài toán sau nhé: Nếu a+b+c=0 <=> \(a^3+b^3+c^3=3abc\)
CM: có:a+b=-c <=> \(\left(a+b\right)^3=-c^3\Leftrightarrow a^3+b^3+3ab\left(a+b\right)=-c^3\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3=-3ab\left(a+b\right)\)
Chú ý: a+b=-c nên \(a^3+b^3+c^3=3abc\)
Do \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0\Leftrightarrow\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}=\frac{3}{abc}\)
Thay vào biểu thwusc M ta được M=3abc (ĐPCM)
2, em có thể tham khảo trong sách Nâng cao phát triển toán 8 nhé, anh nhớ không nhầm thì bài này trong đó
Nếu không thấy thì em có thể quy đồng lên mà rút gọn
\(VT=\frac{b-a+a-c}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)}+\frac{c-b+b-a}{\left(b-c\right)\left(b-a\right)}+\frac{a-c+c-b}{\left(c-a\right)\left(c-b\right)}\)
\(=\frac{-1}{a-c}+\frac{1}{a-b}+\frac{-1}{b-a}+\frac{1}{b-c}+\frac{-1}{c-b}+\frac{1}{c-a}\)
\(=\frac{2}{a-b}+\frac{2}{b-c}+\frac{2}{c-a}=VP\)
Vì \(a+b+c=0\) \(\Rightarrow\) \(c=-a-b\)
Gọi \(M=\frac{a-b}{c}+\frac{b-c}{a}+\frac{c-a}{b}\) , ta có:
\(M.\frac{c}{a-b}=1+\frac{c}{a-b}\left(\frac{b-c}{a}+\frac{c-a}{b}\right)=1+\frac{c}{a-b}.\frac{\left(b^2-bc+ac-a^2\right)}{ab}=1+\frac{c}{a-b}.\frac{\left(a-b\right)\left(c-a-b\right)}{ab}=1+\frac{2c^2}{ab}=1+\frac{2c^3}{abc}\)
Tương tự, \(M.\frac{a}{b-c}=1+\frac{2a^3}{abc};\) \(M.\frac{b}{c-a}=1+\frac{2b^3}{abc}\)
Mặt khác, ta cũng có: từ \(a+b+c=0\), suy ra \(a^3+b^3+c^3=3abc\)
Vậy, \(B=3+\frac{2\left(a^3+b^3+c^3\right)}{abc}=3+\frac{2.3abc}{abc}=3+6=9\) (vì \(a,b,c\ne0\) nên \(abc\ne0\) )
cảm ơn bạn @@