Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a)ĐKXĐ:\(x\ge0\)
\(P=1:\left(\frac{x+2\sqrt{x}-2}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(x-\sqrt{x}+1\right)}-\frac{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(x-\sqrt{x}+1\right)}+\frac{x-\sqrt{x}+1}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(x-\sqrt{x}+1\right)}\right)\)
\(=1:\left(\frac{x+2\sqrt{x}-2-x+1+x-\sqrt{x}+1}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(x-\sqrt{x}+1\right)}\right)\)
\(=1:\frac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+1\right)}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(x-\sqrt{x}+1\right)}\)
\(=1:\frac{\sqrt{x}}{x-\sqrt{x}+1}\)
\(=\frac{x-\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}\)
b)\(\frac{x-\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}\)=\(\frac{x+1}{\sqrt{x}}-1\)(1)
Mặt khác: \(x+1\ge2\sqrt{x}\) (vì \(x\ge0\))thay vào (1) ta được:
\(P\ge\frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}}-1=1\)
Dấu "=" xảy ra khi: x=1
c)P=\(2\sqrt{x}-1=\frac{x-\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}\)
\(\Leftrightarrow2x-\sqrt{x}=x-\sqrt{x}+1\\ \Leftrightarrow x=1\)
Câu a : Mình nghĩ là sai đề .
Câu b : Ta có :
\(\left(\sqrt{2}-1\right)^2=\sqrt{9}-\sqrt{8}\)
\(\Leftrightarrow2-2\sqrt{2}+1=3-2\sqrt{2}\)
\(\Leftrightarrow3-2\sqrt{2}=3-2\sqrt{2}\) ( Luôn đúng )
Vậy \(\left(\sqrt{2}-1\right)^2=\sqrt{9}-\sqrt{8}\) ( đpcm )
Đề lỗi. Bạn lưu ý gõ đề bằng công thức toán để được hỗ trợ tốt hơn.
Bài 3:
Xét họ đường cong \(\left(C_m\right):y=f_m\left(x\right)=mx^4\) và các đường thẳng \(d_m:y=k_mx+n_m\),
với \(x\in\left(0;3\right)\) và \(m=1,2,3\)
Điều kiện \(\left(C_m\right)\) tiếp xúc với \(d_m\) là
\(\begin{cases}mx^4=k_mx+n_m\\4mx^3=k_m\end{cases}\)\(,m=1,2,3\)
Ta cần chọn x1,x2,x3 thỏa mãn
\(\begin{cases}k_1=4x_1^3;k_1=k_2=k_3=k\\k_2=8x_2^3\\k_3=12x_3^3\\x_1+x_2+x_3=3\end{cases}\)\(\Rightarrow\begin{cases}x^3_1=2x^3_2=3x^3_3\\x_1+x_2+x_3=3\end{cases}\)
\(\Rightarrow\begin{cases}x_1=\frac{3\sqrt[3]{6}}{\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{3}+\sqrt[3]{6}}\\x_2=\frac{x_1}{\sqrt[3]{2}}\\x_3=\frac{x_1}{\sqrt[3]{3}}\end{cases}\).Suy ra \(k=4x_1^3=\frac{648}{\left(\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{3}+\sqrt[3]{6}\right)^3}\)
\(n_1+n_2+n_3=-3x_1^4\left(1+\frac{1}{\sqrt[3]{2}}+\frac{1}{\sqrt[3]{3}}\right)=-\frac{1458}{\left(\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{3}+\sqrt[3]{6}\right)^3}\)
Mặt khác: \(f_m^n\left(x\right)=12mx^2>0,\forall x\in\left(0;3\right)\),suy ra \(f_m\left(x\right)\) là hàm lồi trên khoảng \(\left(0;3\right)\).
Do đó, trên khoảng (0;3) đường cong \(\left(C_m\right)\) không nằm phía dưới tiếp tuyến \(\left(d_m\right)\),tức là \(f_m\left(x\right)\ge g_m\left(x\right),\forall x\in\left(0;3\right)\) (*)
Từ hệ thức (*),ta có:
\(a^4\ge ka+n_1\)
\(2b^4\ge kb+n_2\)
\(3c^4\ge kc+n_3\)
Cộng theo vế ta có:
\(P\ge k\left(a+b+c\right)+n_1+n_2+n_3\)
\(=3k+n_1+n_2+n_3\)
\(=\frac{486}{\left(\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{3}+\sqrt[3]{6}\right)^3}\)
Vậy GTNN của \(P=\frac{486}{\left(\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{3}+\sqrt[3]{6}\right)^3}\) khi \(a=x_1;b=x_2;c=x_3\)
2/ Áp dụng BĐT BCS : \(25=\left(\sqrt{x}.\sqrt{x^3}+\sqrt{y}.\sqrt{y^3}\right)^2\le\left(x+y\right)\left(x^3+y^3\right)\)
\(\le\sqrt{2\left(x^2+y^2\right)}.\left(x^3+y^3\right)\)
\(\Rightarrow x^3+y^3\ge\frac{25}{\sqrt{2.5}}=\frac{5\sqrt{10}}{2}\)
Đẳng thức xảy ra khi \(\begin{cases}\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x^3}}=\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y^3}}\\x=y\\x^2+y^2=5\end{cases}\) \(\Leftrightarrow x=y=\frac{\sqrt{10}}{2}\)
Vậy MinP = \(\frac{5\sqrt{10}}{2}\Leftrightarrow x=y=\frac{\sqrt{10}}{2}\)
\(a,M=\dfrac{\left(x-\sqrt{2}\right)^2}{\left(x-\sqrt{2}\right)\left(x+\sqrt{2}\right)}=\dfrac{x-\sqrt{2}}{x+\sqrt{2}}\\ b,N=\dfrac{x+\sqrt{5}}{\left(x+\sqrt{5}\right)^2}=\dfrac{1}{x+\sqrt{5}}\)
\(N=\dfrac{x+\sqrt{5}}{x^2+2x\sqrt{5}+5}=\dfrac{1}{x+\sqrt{5}}\)