Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
- Áp dụng BĐT Bunhia- Cốp xki ta có:
\(\left(\sqrt{x-1}+\sqrt{5-x}\right)^2\le\left(1^2+1^2\right)\left(x-1+5-x\right)\)\(=2.4=8\).
Suy ra: \(\sqrt{x-1}+\sqrt{5-x}\le2\sqrt{2}\).
Vậy max \(\sqrt{x-1}+\sqrt{5-x}=2\sqrt{2}\) khi:
\(\sqrt{x-1}=\sqrt{5-x}\)\(\Leftrightarrow x-1=5-x\)\(\Leftrightarrow x=3\).
- Ta có: \(\sqrt{x-1}+\sqrt{5-x}\ge\sqrt{x-1+5-x}=\sqrt{4}=2\).
Vậy GTNN của \(\sqrt{x-1}+\sqrt{5-x}=2\) khi:
\(\left[{}\begin{matrix}x-1=0\\5-x=0\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=5\end{matrix}\right.\).
\(f\left(x\right)=3x+\frac{2}{\left(2x+1\right)^2}=\frac{3}{4}\left(2x+1\right)+\frac{3}{4}\left(2x+1\right)+\frac{2}{\left(2x+1\right)^2}-\frac{3}{2}\)
\(\ge3\sqrt[3]{\left[\frac{3}{4}\left(2x+1\right)\right]^2.\frac{2}{\left(2x+1\right)^2}}-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}\sqrt[3]{9}-\frac{3}{2}\)
Dấu \(=\)khi \(\frac{3}{4}\left(2x+1\right)=\frac{2}{\left(2x+1\right)^2}\Leftrightarrow\left(2x+1\right)^3=\frac{8}{3}\Leftrightarrow x=\frac{1}{\sqrt[3]{3}}-\frac{1}{2}\).
Ta có: \(\sqrt{x^2+y^2+4x-2y+5}+\sqrt{x^2+y^2-8x-14y+65}=6\sqrt{2}\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(x+2\right)^2+\left(y-1\right)^2}+\sqrt{\left(4-x\right)^2+\left(7-y\right)^2}=6\sqrt{2}\left(^∗\right)\)
Xét hai vectơ \(\overrightarrow{u}=\left(x+2;y-1\right)\)và \(\overrightarrow{v}=\left(4-x;7-y\right)\)
Ta có: \(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}=\left(6;6\right)\Rightarrow\left|\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}\right|=\sqrt{6^2+6^2}=6\sqrt{2}\)
Do vậy \(\left(^∗\right)\)trở thành\(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}=\left|\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}\right|\)
Điều này xảy ra khi và chỉ khi \(\overrightarrow{u}\)và \(\overrightarrow{v}\)cùng hướng
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\left(x+2\right)\left(7-y\right)=\left(y-1\right)\left(4-x\right)\\\left(x+2\right)\left(4-x\right)\ge0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}y=x+3\\-2\le x\le4\end{cases}}\)
Khi y = x + 3 thì \(x^2+y^2-2x+2y+2=2x^2+6x+17\)
Xét hàm số \(f\left(x\right)=2x^2+6x+17\)trên đoạn \(\left[-2;4\right]\)
Ta có: \(-\frac{6}{2.2}=\frac{-3}{2}\in\left[-2;4\right]\)và \(f\left(-2\right)=13;f\left(-\frac{3}{2}\right)=\frac{25}{2};f\left(4\right)=73\)
Suy ra \(|^{min}_{\left[-2;4\right]}f\left(x\right)=\frac{25}{2}\);\(|^{max}_{\left[-2;4\right]}f\left(x\right)=73\)
Do đó \(m=\frac{25}{2};M=73\)và \(n+M=\frac{171}{2}\)
Vậy \(n+M=\frac{171}{2}\)
\(y=\sqrt{\left(x^2-2x+1\right)+4}=\sqrt{\left(x-1\right)^2+4}\ge\sqrt{4}=2\)
Đẳng thức xảy ra khi x = 1
Vậy min y = 2 khi x = 1
cam on bn nhe