Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\frac{1}{x^4}+\frac{1}{y^4}=\frac{x^2}{x^6}+\frac{1}{y^4}\ge\frac{\left(x+1\right)^2}{x^6+y^4}\ge\frac{4x}{x^6+y^4}\)
tương tự
\(\frac{1}{y^4}+\frac{1}{z^4}\ge\frac{4y}{y^6+z^4}\);
\(\frac{1}{z^4}+\frac{1}{x^4}\ge\frac{4z}{z^6+x^4}\);
cộng vế với vế => đpcm
Dấu "=" xảy ra <=> x=y=z=1
Lời giải:
BĐT \(\Leftrightarrow (9+x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2)(xy+yz+xz)\geq 36xyz(*)\)
Thật vậy, áp dụng BĐT AM-GM:
\(9+x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2=1+1+...+1+x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\geq 12\sqrt[12]{x^4y^4z^4}\)
\(xy+yz+xz\geq 3\sqrt[3]{x^2y^2z^2}\)
Nhân theo vế ta có BĐT $(*)$ luôn đúng
Do đó ta có đpcm.
Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z=1$
Giải:
Ta có: x, y, z >0
Áp dụng BĐT Cô si ta có:
\(\left(x+y\right)\ge2\sqrt{xy}\) và \(\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\ge2\sqrt{\frac{1}{xy}}\)
=> \(\left(x+y\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\ge2\sqrt{xy}.2\sqrt{\frac{1}{xy}}=4\)
<=> \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\Leftrightarrow\frac{1}{x+y}\le4\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\) (*)
Áp dụng (*) ta có:
\(\frac{1}{2x+y+z}=\frac{1}{x+y+x+z}=\frac{1}{\left(x+y\right)+\left(x+z\right)}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{x+z}\right)\le\frac{1}{16}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{x}+\frac{1}{z}\right)\) (1)
\(\frac{1}{x+2y+z}=\frac{1}{x+y+y+z}=\frac{1}{\left(x+y\right)+\left(y+z\right)}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}\right)\le\frac{1}{16}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\) (2)
\(\frac{1}{x+y+2z}=\frac{1}{x+z+y+z}=\frac{1}{\left(x+z\right)+\left(y+z\right)}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x+z}+\frac{1}{y+z}\right)\le\frac{1}{16}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{z}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\) (3)
Cộng 2 vế của (1), (2), (3) ta có
\(\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}\le1\) (đpcm)
1) \(\left\{{}\begin{matrix}b+c-a=x\\c+a-b=y\\a+b-c=z\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=\frac{y+z}{2}\\b=\frac{z+x}{2}\\c=\frac{x+y}{2}\end{matrix}\right.\)
BĐT cần cm trở thành:
\(\frac{y+z}{2x}+\frac{z+x}{2y}+\frac{x+y}{2z}\ge3\)
Theo AM-GM, VT>=6/2=3
Dấu bằng xảy ra khi a=b=c
2)\(x^2\left(y+z\right)\ge2x^2\sqrt{yz}=2x^2\sqrt{\frac{1}{x}}=2x\sqrt{x}\)
=>\(P\ge\frac{2x\sqrt{x}}{y\sqrt{y}+2z\sqrt{z}}+\frac{2y\sqrt{y}}{z\sqrt{z}+2x\sqrt{x}}+\frac{2z\sqrt{z}}{x\sqrt{x}+2y\sqrt{y}}\)
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}x\sqrt{x}=a\\y\sqrt{y}=b\\z\sqrt{z}=c\end{matrix}\right.\Rightarrow abc=1\)
=>\(P\ge\frac{2a}{b+2c}+\frac{2b}{c+2a}+\frac{2c}{a+2b}\ge2.1=2\)
(Dùng Cauchy-Schwartz chứng minh được:
\(\frac{a}{b+2c}+\frac{b}{c+2a}+\frac{c}{a+2b}\ge1\))
Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=1 <=> x=y=z=1
Vậy minP=2<=>x=y=z=1
\(P=\frac{x}{x+3}+\frac{y}{y+3}+\frac{z}{z+3}=1-\frac{3}{x+3}+1-\frac{3}{y+3}+1-\frac{3}{z+3}\)
\(P=3-3\left(\frac{1}{x+3}+\frac{1}{y+3}+\frac{1}{z+3}\right)\le3-3.\frac{9}{x+y+z+9}=3-\frac{27}{12}=\frac{3}{4}\)
\(\Rightarrow P_{max}=\frac{3}{4}\) khi \(x=y=z=1\)